搜索
第9课时平面直角坐标系与函数考点一平面直角坐标系内点的坐标特征1.各象限内点的坐标的符号特征(如图9-1):图9-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.0xx=y=03.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点的特征⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点的特征⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上的点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横纵横y=-x5.对称点的坐标特征(1)点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;(2)点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;(3)点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.图9-2(x,-y)(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮.(x,y+b)(或(x,y-b))考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=;PQ∥y轴⇔PQ=.|y|𝒙𝟐+𝒚𝟐(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐|x1-x2||y1-y2|考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.考点四函数基础知识1.函数的概念:一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与之对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量等于a时的函数值.2.函数的三种表示方法:法、法和法.3.描点法画函数图象的一般步骤:→→.解析式列表图象列表描点连线4.自变量的取值范围函数表达式的形式自变量的取值范围举例分式型使分母的实数若y=𝟏𝒙,则x≠0二次根式型使被开方数的实数若y=𝒙,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=𝒙𝒙-𝟏,则x≥0且x≠1【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.不等于0大于或等于0[答案]A[解析]∵点P(m+2,2m-4)在x轴上,∴2m-4=0,解得m=2,∴m+2=4,∴点P的坐标是(4,0).故选A.考向一坐标平面内点的坐标特征例1(1)[2019·甘肃]已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是()A.(4,0)B.(0,4)C.(-4,0)D.(0,-4)例1(2)已知点P(3-m,m-1)在第二象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是()图9-3A【方法点析】方程思想——此类问题一般要根据点所在象限判断点的坐标的符号特征,建立不等式(组)或方程(组),把点的问题转化为不等式(组)或方程(组)问题来解决.注意准确掌握各坐标轴上的点的坐标特征.|考向精练|1.[2019·广安]若点M(x-1,-3)在第四象限,则x的取值范围是.2.[2019·常州]平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是.x153.[2019·滨州]已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是()图9-4[答案]C[解析]∵点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,∴点P(a-3,2-a)在第二象限,∴𝒂-𝟑𝟎,𝟐-𝒂𝟎,解得𝒂𝟑,𝒂𝟐,∴不等式组的解集是a2,在数轴上表示如选项C所示.考向二平面直角坐标系中图形的平移、旋转与对称例2(1)[2019·滨州]在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,则点B的坐标是()A.(-1,1)B.(3,1)C.(4,-4)D.(4,0)A[答案]D[解析]m2是非负数,m2+1一定是正数,所以点P(-3,m2+1)在第二象限.关于原点对称的两个点横、纵坐标都互为相反数,由此得点P关于原点对称的点在第四象限.例2(2)[2019·安顺]在平面直角坐标系中,点P(-3,m2+1)关于原点对称的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D例2(3)[2019·孝感]如图9-5,在平面直角坐标系中,将点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P',则P'的坐标为()A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)图9-5|考向精练|1.在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向下平移3个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到点A',则点A'的坐标是.2.[2019·杭州]在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则()A.m=3,n=2B.m=-3,n=2C.m=2,n=3D.m=-2,n=3(-1,0)B3.[2019·嘉兴]如图9-6,在直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C',再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″,则点C的对应点C″的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)图9-6A考向三函数的概念及自变量的取值范围例3[2019·包头]在函数y=𝟑𝒙-𝟐−𝒙+𝟏中,自变量x的取值范围是()A.x-1B.x≥-1C.x-1且x≠2D.x≥-1且x≠2[答案]D[解析]根据题意x必须满足𝒙-𝟐≠𝟎,𝒙+𝟏≥𝟎,解得x≥-1且x≠2,因此本题选D.|考向精练|1.[2019·岳阳]函数y=𝒙+𝟐𝒙中,自变量x的取值范围是()A.x≠0B.x≥-2C.x0D.x≥-2且x≠02.[2018·包头]函数y=𝟏𝒙-𝟏中,自变量x的取值范围是()A.x≠1B.x0C.x≥1D.x1DD考向四函数图象例4[2019·自贡]均匀地向一个容器内注水,在注满水的过程中,水面的高度h与时间t的函数关系如图9-7所示,则该容器是下列四个中的()图9-7图9-8[答案]D[解析]由图象可知,高度h随时间t的变化规律是先快后慢,D选项的底面积由小变大,水面高度随时间变化符合先快后慢.故选D.例5[2019·黄冈]已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上,图9-9中的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场,在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔,然后再走回家.图中x表示时间,y表示林茂离家的距离.依据图中的信息,下列说法错误的是()A.体育场离林茂家2.5kmB.体育场离文具店1kmC.林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/minD.林茂从文具店回家的平均速度是60m/min图9-9[答案]C[解析]选项A,体育场离林茂家2.5km,正确;选项B,林茂从体育场到文具店的距离是2.5-1.5=1(km),正确;选项C,林茂从体育场出发到文具店的平均速度是𝟐𝟓𝟎𝟎-𝟏𝟓𝟎𝟎𝟒𝟓-𝟑𝟎=𝟐𝟎𝟎𝟑(m/min),错误;选项D,林茂从文具店回家的平均速度是𝟏𝟓𝟎𝟎𝟗𝟎-𝟔𝟓=60(m/min),正确.【方法点析】正确理解函数图象表示的意义.如图9-10甲,在表示速度v与时间t的函数图象中,①表示物体从0开始加速运动,②代表物体匀速运动,③代表物体减速运动到停止.如图9-10乙,在表示路程s与时间t的函数图象中,①代表物体匀速运动,②代表物体停止运动,③代表物体反向匀速运动直至回到原地.图9-10|考向精练|1.[2019·赤峰]如图9-11是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变),能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是()图9-11图9-12[答案]D[解析]由于容器的形状是下宽上窄,所以水的深度上升是先慢后快,表现出的函数图象为先缓,后陡.故选D.2.[2019·东营]甲、乙两队参加了“端午情,龙舟韵”赛龙舟比赛,两队在比赛时的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数图象如图9-13所示,请你根据图象判断,下列说法正确的是()A.乙队率先到达终点B.甲队比乙队多走了126米C.在47.8秒时,两队所走路程相等D.从出发到13.7秒的时间段内,乙队的速度慢图9-13[答案]C[解析]从图象上可知,甲队先到达终点,故选项A错误;甲、乙两队比赛的路程都是300米,所以选项B错误;从图象上可看出,在47.8秒时,甲、乙两队的路程都是174米,故选项C正确;由图象可知,从出发到13.7秒的时间段内,甲队的图象在乙队的下方,所以在相同的时间内,乙队行驶的路程比甲队多,那么此时乙队速度快,选项D错误.因此本题选C.