搜索
17.2勾股定理的逆定理【基础梳理】一、互逆命题(定理)1.互逆命题:如果两个命题的题设和结论正好_____,那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_______.相反逆命题2.逆定理:如果一个定理的_______经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理.逆命题二、勾股定理的逆定理1.内容:如果三角形的三边长a,b,c满足________,那么这个三角形是直角三角形.2.应用:通过边长的计算,可以判断一个三角形是否是直角三角形.a2+b2=c2三、勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个_______,称为勾股数.正整数【自我诊断】(1)1.5,2,2.5是一组勾股数.()×(2)下列命题中,其逆命题成立的是()A.内错角相等B.全等三角形的面积相等C.同位角相等D.等边对等角D(3)如图,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么△ABC的面积是___cm2.30知识点一互逆命题、互逆定理【示范题1】写出下列命题的逆命题,并判断它是真命题还是假命题.(1)若ac2bc2,则ab.(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等.(3)若ab=0,则a=0.【思路点拨】分析命题的题设与结论→交换题设与结论,写出逆命题→判断真假.【自主解答】(1)逆命题为:若ab,则ac2bc2,假命题,如c=0,ac2=bc2.(2)逆命题为:到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,真命题.(3)逆命题为:若a=0,则ab=0,真命题.【微点拨】写一个命题的逆命题的两点注意(1)写出一个命题的逆命题,首先要分清已知命题的题设和结论,把已知命题的题设和结论互换就得到这个命题的逆命题.(2)命题的题设与结论不明显时,先把命题写成“如果……,那么……”的形式.知识点二勾股数【示范题2】(2017·枣庄期中)观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;a,b,c.根据你发现的规律,请写出:(1)当a=19时,求b,c的值.(2)当a=2n+1时,求b,c的值.(3)用(2)的结论判断15,111,112是否为一组勾股数,并说明理由.【思路点拨】(1)仔细观察可发现给出的勾股数中,斜边与较大的直角边的差是1,根据此规律及勾股定理公式不难求得b,c的值.(2)根据第(1)问发现的规律,代入勾股定理公式中即可求得b,c的值.(3)将第(2)问得出的结论代入第(3)问中,看是否符合规律,符合则说明是一组勾股数,否则不是.【自主解答】(1)通过观察得,给出的勾股数中,斜边与较大直角边的差是1,即c-b=1.∵a=19,a2+b2=c2,∴192+b2=(b+1)2,∴b=180.∴c=181.(2)通过观察知c-b=1,∵(2n+1)2+b2=c2,∴c2-b2=(2n+1)2,(b+c)(c-b)=(2n+1)2,∴b+c=(2n+1)2,又c=b+1,∴2b+1=(2n+1)2,∴b=2n2+2n,c=2n2+2n+1.(3)由(2)知,2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1为一组勾股数,当n=7时,2n+1=15,112-111=1,但2n2+2n=112≠111,∴15,111,112不是一组勾股数.【微点拨】勾股数满足的条件只要三个正整数中,满足较小两个正整数平方的和等于较大正整数的平方,那么这三个正整数就是一组勾股数.知识点三勾股定理逆定理的应用【示范题3】(2017·临洮县期中)如图所示的一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为多少?【备选例题】若在△ABC中,AB=5cm,BC=6cm,BC边上的中线AD=4cm,则∠ADC的度数是________度.【解析】∵AB=5cm,BC=6cm,AD=4cm,又∵AD为BC边上的中线,∴BD=6×=3(cm),∴AB2=AD2+BD2,∴△ADB为直角三角形,∴∠ADB=90°,∴∠ADC的度数是90度.答案:9012【微点拨】由三边判定直角三角形的三步法【纠错园】已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.【错因】在等式两边同除以含有字母的式子,漏掉了等腰三角形的情况.