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专题四平面解析几何初步第18讲圆的方程1．圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．答案：定点定长集合2．确定一个圆最基本的要素确定一个圆最基本的要素是________和________．答案：圆心半径3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中________为圆心，________为半径．答案：(a，b)r4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是________，其中圆心为－D2，－E2，半径r＝D2＋E2－4F2.答案：D2＋E2－4F05．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)：(1)点在圆上：__________________；(2)点在圆外：__________________；(3)点在圆内：__________________．答案：(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(2)(x0－a)2＋(y0－b)2r2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2r21．求圆的方程(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________．(2)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．解析：(1)由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②联立①②，解得x＝3，y＝0，所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝（4－3）2＋（1－0）2＝2，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(1)x2＋(y－1)2＝1(2)(x－3)2＋y2＝2剖析：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法．①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．与圆有关的最值问题(1)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2(2)已知M为圆C∶x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．①求|MQ|的最大值和最小值；②若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．(1)解析：|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.答案：B(2)解：①由圆C∶x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42.所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.②可知n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.剖析：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与圆有关的轨迹问题已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.剖析：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m≤2B．m2C．m12D．m≤12答案：C2．设P(x，y)为圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上任一点，A(－1，5)，则AP的最小值是()A.7B．4C．6D．3答案：B3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则△ABC的外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝5答案：C4．已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25答案：C5．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．42C．210D．6解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径长为r＝2，易知，圆心C在直线l上，则2＋a－1＝0，得a＝－1，则A(－4，－1)，故|AC|＝（－4－2）2＋（－1－1）2＝210，因此，|AB|＝|AC|2－r2＝（210）2－22＝6.答案：D6．已知圆心在直线x－y－1＝0上的圆与y轴的两个交点坐标分别为(0，4)，(0，2)，则该圆的方程为____．解析：因为圆与y轴的两个交点坐标分别为(0，4)，(0，－2)，所以圆心在(0，4)，(0，－2)的垂直平分线y＝1上，又因为圆心在x－y－1＝0上，所以由y＝1，x－y－1＝0，得圆心坐标为(2，1)，圆的半径为22＋（1－4）2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝13.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝137．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连接的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案：y2＋4x－4y＋8＝08．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据|AB|＝3，可得圆心到x轴的距离为12，故圆心坐标为1，12，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y－122＝1.答案：(x－1)2＋y－122＝19．已知圆C经过M1(－1，0)，M2(3，0)，M3(0，1)三点．(1)求圆C的标准方程；(2)若过点N(2，3－1)的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，1＋E＋F＝0，所以D＝－2，E＝2，F＝－3，即圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(2)①当斜率不存在时，即直线l为x＝2，圆心到直线l的距离为1，满足题意．此时直线l的倾斜角为90°；②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)＋3－1，由弦长为4，可得圆心C(1，－1)到直线l的距离为5－4＝1，即|k（1－2）＋1＋3－1|1＋k2＝1，所以k＝33，此时直线l的倾斜角为30°，综上所述，直线l的倾斜角为30°或90°.10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.所以y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.所以P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则|x0－y0|2＝22，即|x0－y0|＝1.所以y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①当y0＝x0＋1时，由y20－x20＝1得(x0＋1)2－x20＝1.所以x0＝0，y0＝1，所以r2＝3.所以圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.②当y0＝x0－1时，由y20－x20＝1得(x0－1)2－x20＝1.所以x0＝0，y0＝－1，所以r2＝3.所以圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.综上所述，圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.