重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究（五大题型）（解析版）

重难点突破11圆锥曲线存在性问题的探究目录解决存在性问题的技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．题型一：存在点使向量数量积为定值例1．（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为2,0，离心率为22e．1求椭圆E的方程；2过点1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】1设椭圆E的方程为22221(0)xyabab，由已知得2122acca，解得：21ac，所以2221bac．所以椭圆E的方程为2212xy．2假设存在符合条件的点,0Mm，设11,Pxy，22,Qxy，则11,MPxmy，22,MQxmy，21212121212MPMQxmxmyyxxmxxmyy，①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1ykx，由22112ykxxy，得：2222214220kxkxk，2122421kxxk，21222221kxxk，221212122121kyykxxxxk，2222241221mmkmMPMQk，对于任意的k值，上式为定值，故2224122mmm，解得：54m，此时，716MPMQ为定值；②当直线l的斜率不存在时，直线l：1x，121xx，122xx，1212yy，由54m，得5251712416216MPMQ为定值，综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为5,04．例2．（2023·山西大同·高二统考期末）已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点与抛物线243yx的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点PQ、，试问在x轴上是否存在定点(m,0)E，使PEQE恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为(3,0)F，所以223cab，因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，所以3313b，可求得a=2.故椭圆的方程为2214xy.（2）假设存在满足条件的点(m,0)E，当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为(1)ykx，由2214(1)xyykx得2222418440kxkxk，设1122,,,PxyQxy，所以221212228440,,4141kkxxxxkk，则1212PEQEmxmxyy2121212mmxxxxyy2222222222844448141414141kmkkkmkkkkk2222481441mmkmk222221148144814441mmkmmmk2217214481441mmmk，要使PEQE为定值，令17204m，即178m，此时3364PEQE.当直线的斜率不存在时，不妨取331,,1,22PQ，由17,08E，可得9393,,,8282PEQE，所以8133364464PEQE.综上所述，存在点17,08E，使PEQE为定值3364.例3．（2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为1F，2F，短轴长为23.点P在椭圆C上，且满足12PFF的周长为6.（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使得MAMB恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）222223{226bacabc224{3ab所以椭圆的方程为22143xy（Ⅱ）假设存在这样的定点0,0Mx，设1122,,,AxyBxy，AB直线方程为1xmy则101202101202,,1,1,MAMBxxyxxymyxymyxy=22120120111myymxyyx联立221{3412xmyxy消去x得2234690mymy12122269,3434myyyymm20020022523411811843434xmxxMAMBxmm令01180x即0118x，13564MAMB当ABy轴时，令112,0,2,0,,08ABM,仍有13564MAMB所以存在这样的定点11,08M，使得13564MAMB变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，椭圆经过点21,2A.（1）求椭圆C的方程；（2）过点(1,0)作直线l交C于,MN两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PMPN为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意22ca，222abc，221112ab，得222,1ab，所以椭圆C的方程为2221xy.（2）当l的斜率存在时，设:1lykx，11,Mxy，22,Nxy，,0Pt，则联立方程组2222ykxkxy消去y得，2222214220kxkxk.∴2122421kxxk+=+，21222221kxxk.∵2112212121212,,11PMPNxtyxtyxtxtyyxtxtkxx2222222222121222224112121kkkxxktxxktkktktkk2222241221ktttk为定值.∴22241221ttt，解得54t.此时PMPN的值为716.当l的斜率不存在时，l的方程为1x，解得21,2M，21,2N.又54t，则5,04P.∴12127,,424216PMPN，此时也满足条件.综上所述，在x轴上存在定点5,04P，使PMPN为定值.变式2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知12FF､为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，E的离心率为5,M为E上一点，且212MFMF.(1)求E的方程；(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的AB､两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作MCAB，垂足为C，是否存在点D，使得CD为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为双曲线的离心率为5，所以5cea，即5ca，又212MFMF，所以22a，则1a，所以5c，因为222bca，所以2222(5)12bca，故双曲线E的方程为2214yx.（2）因为M点满足2120MFMF，所以点M在双曲线2214yx的左支上，又因为点M在坐标轴上，则(1,0)M，设1122(,),(,)AxyBxy，当AB的斜率存在时，设AB的方程为ykxm，联立方程2214yxykxm，整理得222(4)2(4)0kxkmxm,则240k，222(2)4(4)[(4)]0kmkm,即2240mk,212122224,44kmmxxxxkk，因为M在以线段AB为直径的圆上，所以MAMB，则0MAMB，又11(1,)MAxy，22(1,)MBxy，则1212(1)(1)MAMBxxyy1212(1)(1)()()0xxkxmkxm，所以221212(1)(1)()10kxxkmxxm，即2222242(1)()(1)1044mkmkkmmkk，整理得223250mkmk，即()(35)0mkmk，解得mk或53km，经检验均满足2240mk，当mk时，直线AB的方程为(1)ykx，则直线AB过点M，不合题意，舍去；当53km时，直线AB的方程为5()3ykx，则直线AB恒过定点5(,0)3Q，符合题意.当AB的斜率不存在时，1111(,),(,)AxyBxy，11(1,)MAxy，11(1,)MBxy，2211(1)0MAMBxy，又221114yx，解得11x（舍去）或153x，所以直线AB方程为53x，则直线AB恒过定点5(,0)3Q.综上，直线AB恒过定点5(,0)3Q.因为MCAB，所以MCQ是以MQ为斜边的直角三角形，即点C在以MQ为直径的圆上，则点D为该圆的圆心即斜边MQ的中点，又(1,0)M，5(,0)3Q，所以1(,0)3D，CD为该圆的半径，即14||||23CDMQ，故存在点1(,0)3D，使得||CD为定值43.变式3．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22，且直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线．(1)求椭圆1C的方程；(2)过点10,3S的动直线L交椭圆1C于,AB两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由24yxbyx得22240xbxb直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线．所以01b222ceaa，所以椭圆221:12xCy（2）当直线L与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为2221433xy当直线L与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为221xy所以两圆的交点为点0,1猜想：所求的点T为点0,1．证明如下．当直线L与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点0,1当直线L与x轴不垂直时，可设直线L为：13ykx由221312ykxxy得2218912160kxkx，设11,Axy，22,Bxy则1221221218916189kxxkxxk则11221212121211,1,1111133TATBxyxyxxyyxxkxkx21212224161641216103918931899kxxxxkkk所以TATB，即以AB为直径的圆过点0,1所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T．变式4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦