第九章质点动力学的基本方程

第九章质点动力学的基本方程典型例题例９．1物块1D和2D的质量分别为1m和2m，用弹簧连接如图９.１（a）所示．已知物块1D沿铅直方向按tAxcos运动，其中Ａ和均为常数；物块2D静放在水平固定面上．如果不计摩擦和弹簧质量，试求水平支承面对物块2D的动反力．解本例是已知运动求力的典型题．因为物块1D沿铅直方向作平动，可把物块1D看为质点．分别取物块1D和2D为研究对象，其受力分析和运动分析如图９.１（b）和（c）所示，图中的F和,F表示弹簧力，NF是支承面对2D的动反力．根据质点动力学基本方程，对1D和2D分别有Fgmam111（１）NFFgm,20（２）将以上两式投影到轴x，得Fgmam111（３）NFFgm,20（４）其中，,FF，且tAkdtxdacos2221（５）式（３）－（５）联立求解，最后得水平支承面对物块2D的动反力tAmgmmFNcos)(2121（a）讨论１．在动力学中，因为动反力＝静反力＋附加反力由式（a）可知，本例动反力NF中的静反力为gmm)(21；附加反力为)cos(21tAm，它的大小和方向都将随着时间t而不断变化．这是动力学问题与静力学问题的重要区别之一．由于物体运动状态变化，有加速度出现，动反力也会相应变化．读者不能以静力学的观点来处理动力学问题．２．由式（a）知，当1cost时，得力NF的最大值2121max)(AmgmmFN如果2121)(Akmgmm，当1cost时，得力NF的最小值2121min)(AmgmmFN如果2121)(Akmgmm，物块2D会脱离水平支承面，这时0minNF，而不是0minNF．３．在画物块2D的受力图９.１（c）时，不能把物块1D的重力gm1画在2D上．另外，弹簧力F的大小不等于gm1．４．物块2D对水平面的动压力NNFF,．因此，本例可以用来估算机器对地面沿铅直方向的动压力．这个动压力由最小值到最大值往复变化，将引起振动．例９．２小球由高度h处以水平速度0v抛出，入图９.２（a）所示．空气阻力可视为与速度的一次方成正比，即kmvFd，其中m为小球的质量，k为常系数，求小球的运动方程和轨迹．解本例是已知力和运动的初始条件求运动的问题．取小球Ａ为研究对象，由于小球的初速度0v与其重力mg共面，故小球在与初速度0v共面的铅直面内作平面曲线运动，小球在任意位置Ａ的受力分析和运动分析如图９．２（b）所示．因目前还不知小球的轨迹，故宜建立直角坐标形式的运动微分方程，取平面直角坐标系Oxy如图９．２（b）所示．小球的运动微分方程为...kmxmx（１）)(....kygmkmymgmy（２）将dtdxx...和dtdyy...分别代入式（１）和式（２），分离变量后得kdtxdx..（３）dtkygdy..（４）由题给出的初始条件为0t时，有00x，0.0vxhy0，0.0y（５）首先对式（３）进行定积分txvdtkxdx0...0故ktvx0.ln由此可得小球在空中任意位置时沿轴x方向的速度为ktevx0.（６）同理，对式（４）进行定积分tydtkygdy00...故ktkygdy..ln由此可得小球在空中任意位置时沿轴y方向的速度为)1(.ktekgy（７）为了求小球的运动方程，分别对式（６）和式（７）分离变量后再进行定积分，dtevdxktx1000tktyhdtekgdy0)1(最后得小球在空中的运动方程)1(0ktekvxtkgekghykt)1(2（a）由式（a）消去时间t，可得小球的轨迹为0002lnkvgxkxvvkghy（b）讨论１．从式（１）和式（２）知，空气阻力dF在轴x和y上的投影分别表示为,kmxFx和,kmyFy，其中,x和,y都是具有正负值的代数量．由图９.２（b）可知，,x为正值，而,y为负值．可见xF为负值，而yF为正值．２．由式（１）可知，,,x与,x的正负号相反，故小球在水平方向作减速，同时沿水平方向的空气阻力也逐渐减小．由式（２）可知，当,ykg时，小球在铅垂向下方向作加速运动，使小球在铅垂方向上的分速度由零逐渐增大．与此同时，沿铅垂方向的阻力yF也随同增大，使小球沿铅垂方向的分加速度逐渐变小．当yF与重力mg大小相等时，小球沿铅垂方向的分加速度等于零．由式（７）可知，当t时，可得kgymax,．但本例的高度h是有限值，故不可能达到max,y值．小球在空中的真实运动是由上述的水平分运动和铅垂分运动组成的合成运动．３．本例也可采用不定积分，利用初始条件式（５），求解式（３）和式（４）．