3[1].2圆的对称性课件1

九年级数学(下)第三章圆3.2圆的对称性(1)-----垂径定理想一想1.圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是,它的对称轴是什么?用折叠的方法即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴?●O圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.AB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).⌒ADB大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).ABCD相关概念如图,CD是直径,AB弦,CD⊥AB,垂足为M。你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由。●OCDABM└AM=BM，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒探求不断连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.∵CD⊥AB于M证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M，求证：AM=BM，AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件①一条直径②垂直于弦③直径平分弦④平分弦所对的劣弧结论⑤平分弦所对的优弧EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABcOEDCAB如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E21则AE＝BE＝AB＝×8＝4厘米在Rt△AOE中，OE=3厘米，根据勾股定理OA＝21∴⊙O的半径为5厘米。543OEAE2222厘米若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_______。如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点o是的圆心)，其中CD=600m,E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。CDEFOCD⌒CD⌒CD⌒A、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM⌒⌒⌒⌒1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（）2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD=.3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是.●OCDABM└C813②CD⊥AB,垂径定理的逆定理AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.做一做过点M作直径CD.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗CD⊥AB,垂径定理的逆定理●OCDCD是直径AM=BM可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.●AB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.被平分的这条弦不是直径．M判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦的直径一定垂直于这条弦.（）(3)弦的垂直平分线一定经过圆心.（）√课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。2.还有什么疑惑请提出来已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD•o•oABCD┐E证明：过O作OE⊥AB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。则AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BD●OABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?EF└└MN挑战自我做一做挑战自我画一画如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。FEDOCAB挑战自我做一做反思小结：布置作业：1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题3、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于AB。求证：。OCAEBDF⌒⌒AC=BD.13、思考题已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦AB交小圆于C、D.求证：AC＝DB。OACBDE如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGHMN垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAOED┌600垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DC赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).赵州石拱桥解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设ABABABAB,2.7,4.37CDABABAD21,7.184.3721DCOCOD.2.7R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2.7(7.18222RR即解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2练习:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。10DCEOABr4r-4.AOBECDF思考题已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求证：EC＝DF圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O例：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的长。GEFAOBCD船能过拱桥吗2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH∴此货船能顺利通过这座拱桥.