余弦定理题目解析

2.余弦定理类型一余弦定理的证明例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.解如图，设＝a，＝b，＝c，由＝－知c＝a－b，CB→CA→AB→AB→CB→CA→则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？解如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.类型二用余弦定理解三角形例2在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm).解根据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.82，所以a≈41(cm).由正弦定理得，sinC＝≈≈≈0.5440.csinAa34×sin41°4134×0.65641因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.跟踪训练2在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.2解由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4，3所以c＝－.62由正弦定理得sinA＝＝，asinCc12因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A＝30°.例3在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形(角度精确到1′).解∵cosA＝＝b2＋c2－a22bc87.82＋161.72－134.622×87.8×161.7≈0.5543，∴A≈56°20′.∵cosB＝＝a2＋c2－b22ac134.62＋161.72－87.822×134.6×161.7≈0.8398，∴B≈32°53′.∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.跟踪训练3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状.解因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k0).c最大，cosC＝0，2k2＋4k2－5k22×2k×4k所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形.类型四利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形例4已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.解由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得72＝82＋c2－2×8×ccos60°，整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.跟踪训练4在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则cπ33等于()A.1B.2C.－1D.33答案B解析由余弦定理得cosA＝，b2＋c2－a22bc∴＝，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍).121＋c2－32×1×c类型五利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例5在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明方法一(1)由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二(1)由余弦定理得cosB＝，cosC＝，a2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝＋＝＝a.a2＋b2－c22aa2＋c2－b22a2a22a∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.跟踪训练5在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.cosBcosCc－bcosAb－ccosA证明方法一左边＝＝，a2＋c2－b22aca2＋b2－c22abba2＋c2－b2ca2＋b2－c2右边＝＝，c－b·b2＋c2－a22bcb－c·b2＋c2－a22bcba2＋c2－b2ca2＋b2－c2∴等式成立.方法二右边＝2RsinC－2RsinB·cosA2RsinB－2RsinC·cosA＝sinA＋B－sinBcosAsinA＋C－sinCcosA＝＝＝左边，sinAcosBsinAcosCcosBcosC∴等式成立.类型六利用正弦、余弦定理判断三角形形状例6在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC的形状.解由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝.b2＋c2－a22bcbc2bc12∵0Aπ，∴A＝.π3又sinA＝2sinBcosC.∴由正弦、余弦定理得a＝2b·＝，a2＋b2－c22aba2＋b2－c2a∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形.跟踪训练6在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.解方法一根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴2＝a2＋c2－2accos60°，a＋c2()整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.∴△ABC是等边三角形.方法二根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，∴A＋30°＝90°，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是等边三角形.课时作业（1）一、选择题1.在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A.1B.C.2D.42答案C解析bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.a2＋b2－c22abc2＋a2－b22ca2a22a2.在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A.B.C.D.14342423答案B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝＝＝.a2＋c2－b22aca2＋4a2－2a22a·2a343.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90°B.120°C.135°D.150°答案B解析设中间角为θ，且θ为锐角，则cosθ＝＝，52＋82－722×5×812θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.4.在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为()3A.B.π6π3C.或D.或π65π6π32π3答案D解析∵(a2＋c2－b2)tanB＝ac，3∴·tanB＝，a2＋c2－b22ac32即cosB·tanB＝sinB＝.32∵0Bπ，∴角B的值为或.π32π35.在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A2c－b2cA.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案B解析∵sin2＝＝，A21－cosA2c－b2c∴cosA＝＝，bcb2＋c2－a22bc∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理.6.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为()A.50mB.45mC.50mD.47m7答案C解析依题意得OD＝100m，CD＝150m，连接OC，易知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CDcos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×，12解得OC＝50(m).7二、填空题7.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝.答案120°解析a2－c2＝b2＋bc，b2＋c2－a2＝－bc，cosA＝＝b2＋c2－a22bc－bc2bc＝－，A∈(0°，180°)，故A＝120°.128.已知三角形三边长为a，b，(a0，b0)，则最大角为.a2＋ab＋b2答案120°解析易知：a，b，a2＋ab＋b2a2＋ab＋b2设最大角为θ，则cosθ＝a2＋b2－a2＋ab＋b222ab＝－，12又∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.9.在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为.答案7解析由条件知：cosA＝＝＝，AB2＋AC2－BC22·AB·AC92＋82－722×9×823设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，所以x＝7.AC2()AC223所以AC边上的中线长为7.10.在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是.63答案3解析∵cosC＝＝，BC2＋AC2－AB22×BC×AC22C∈(0，)，∴sinC＝.∴AD＝AC·sinC＝.π2223三、解答题11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.3(1)求角C的度数；(2)求AB的长.解(1)cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.12又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，3∴a＋b＝23，ab＝2.{∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.1012.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长.解由得a－b＝4，a＋c＝2b，{a＝b＋4，c＝b－4.{∴abc，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×，－12()即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.13.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状.解由余弦定理知cosA＝，b2＋c2－a22bccosB＝，cosC＝，c2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0，b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22cac2－a2－b22ab通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.课时作业（2）一、选择题1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段()A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形答案B解析因三角形最大边对应的角的余弦值cosθ＝＝0，52＋62－722×5×615所以能组成锐角三角形.2.在△ABC中，若c＝2，b＝2a，且cosC＝，则a等于()14A.2B.C.1D.1213答案C解析由cosC＝a2＋b2－c22ab＝＝，得a＝1.a2＋4a2－222a×2a143.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定答案A解析设直角三角形的三边为a，b，c，且a2＋b