当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2013届高考理科数学第一轮基础复习课件3-椭圆
第六节椭圆1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和_____________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数;(1)若_______________,则集合P为椭圆;(2)若_______________,则集合P为线段;(3)若_______________,则集合P为空集.等于常数2a>|F1F2|2a=|F1F2|2a<|F1F2|2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)图形性质范围______≤x≤____________≤y≤___________≤x≤_________≤y≤_____对称性对称轴:________;对称中心:_______顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)离心率e=________∈(0,1)a、b、c间的关系c2=a2-b2-aa-bb-bb-aa坐标轴原点1.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?2.对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2为其左、右焦点.当点P(x0,y0)落在椭圆外、椭圆上、椭圆内时,|PF1|+|PF2|与2a有怎样的大小关系?与方程有怎样的关系?【提示】当点P落在椭圆外时,|PF1|+|PF2|>2a,x20a2+y20b2>1;当点P落在椭圆上时,|PF1|+|PF2|=2a,x20a2+y20b2=1;当点P落在椭圆内时,|PF1|+|PF2|<2a,x20a2+y20b2<1.【提示】a和b分别是椭圆长半轴长和短半轴长,ba=1-e2.故离心率越接近1,椭圆越扁;离心率越接近0,椭圆就越接近于圆.1.(教材改编题)若椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且经过点P(3,0),则椭圆的标准方程是()A.x29+y2=1B.x2+y29=1C.x29+y2=1,或x2+y29=1D.x29+y2=1,或y281+x29=1【解析】若椭圆的焦点在x轴上,则a=3,从而b=1,椭圆方程为x29+y2=1,若椭圆的焦点在y轴上,则b=3,从而a=9,椭圆方程为y281+x29=1.【答案】D2.已知F1、F2为椭圆x216+y24=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=________.【解析】如图,由椭圆的定义可知:|F1A|+|F2A|=2a=8,|F1B|+|F2B|=2a=8,∴|AB|=16-|F2A|-|F2B|=6.【答案】63.(2012·广州模拟)椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是________.【解析】设椭圆另一个焦点为F2,由题意F2P垂直于x轴,不妨设P(3,y0),则有912+y203=1,∴y0=±32,∴点M的纵坐标为±34.【答案】±344.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.【解析】由题意可知2a+2c2=2b,即a+c=2b,两边平方有a2+2ac+c2=4b2=4(a2-c2),整理知3a2-2ac-5c2=0,两边同除以-a2,得5e2+2e-3=0,解得e=35或-1(舍去).【答案】35椭圆的定义及标准方程(1)(2011·江西高考)若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点(1,12)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.(2)已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9,则b=________.【思路点拨】(1)过圆外一点作圆的两条切线,这点和圆心的连线与过切点的直线垂直,从而直线AB的方程可求.(2)利用|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2|PF1|·|PF2|=18,可求b.【尝试解答】(1)∵x=1是圆x2+y2=1的一条切线,∴椭圆的右焦点为(1,0),即c=1,设P(1,12),则kOP=12,∵OP⊥AB,∴kAB=-2,则直线AB的方程为y=-2(x-1),它与y轴的交点为(0,2),∴b=2.∴a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为x25+y24=1.把①平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2,把②、③代入上式得4c2+36=4a2,∴a2-c2=9,即b2=9,∴b=3.【答案】(1)x25+y24=1(2)31.(1)求椭圆的标准方程的主要方法是:①定义法;②待定系数法.(2)确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件,两个“定量”条件,“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上,“定量”是指确定a、b的值,常用待定系数法.2.根据条件求椭圆的标准方程的思想是“选标准、定参数”,关键在于焦点的位置是否确定.当焦点位置不确定时有两种处理方法,一是分类讨论,二是可设为Ax2+By2=1(A0,B0,且A≠B).3.对于焦点三角形△F1PF2有关计算,要充分利用椭圆定义、余弦定理及面积公式.若本例(2)的所有条件不变,求使|PF1|+|PF2|最小时椭圆的方程.【解】由本例(2)知,b=3,|PF1|·|PF2|=18,∴|PF1|+|PF2|≥2|PF1||PF2|=218(当且仅当|PF1|=|PF2|=18时取“=”),即|PF1|+|PF2|的最小值为218,此时a=18,椭圆方程为x218+y29=1.椭圆的几何性质如图8-6-1,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF2→=2F2B→,求椭圆的方程.图8-6-1【思路点拨】由△AF1F2为等腰直角三角形找a,c的等量关系→计算e=ca;利用AF2→=2F2B→把点B的坐标用点A(0,b)表示→代入椭圆求a,b的值→写出椭圆方程.【尝试解答】(1)∵|AF1|=|AF2|=a,且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c,∴2a2=4c2,∴a=2c,∴e=ca=22.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由AF2→=2F2B→,解得x=32,y=-b2,代入x2a2+y2b2=1,得94a2+b24b2=1,即94a2+14=1,解得a2=3,∴b2=a2-c2=2.所以椭圆方程为x23+y22=1.1.(1)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处;当x=±a时,|OP|有最大值a,这时P在长轴端点处.(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中a是斜边,a2=b2+c2.2.离心率e=ca,在求法中要有整体求值思想或变形为e2=1-(ba)2.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP→·FP→的最大值为()A.2B.3C.6D.8【解析】由题意知,O(0,0),F(-1,0),设P(x,y),则OP→=(x,y),FP→=(x+1,y),∴OP→·FP→=x(x+1)+y2=x2+y2+x,又∵x24+y23=1,∴y2=3-34x2,∴OP→·FP→=14x2+x+3=14(x+2)2+2,∵-2≤x≤2,∴当x=2时,OP→·FP→有最大值6.【答案】C【思路点拨】(1)根据离心率和右焦点坐标直接求出a、b.(2)设出直线l的方程,表示出线段AB的中点E的坐标,利用PE⊥AB,求出直线l的方程.直线与椭圆的位置关系(2011·北京高考)已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,右焦点为(22,0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程;(2)求△PAB的面积.【尝试解答】(1)由已知得c=22,ca=63,解得a=23.又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为x212+y24=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,由y=x+m,x212+y24=1,得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB中点为E(x0,y0),则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4.因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB,所以PE的斜率k=2-m4-3+3m4=-1,解得m=2.此时方程①为4x2+12x=0.解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2.所以|AB|=32,此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-3-2+2|2=322,所以△PAB的面积S=12|AB|·d=92.1.解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+k2x1-x22=1+k2·x1+x22-4x1x2.(2012·佛山质检)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,AF→=2FB→.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C的方程.【解】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0.(1)直线l的方程为y=3(x-c),其中c=a2-b2.联立y=3x-c,x2a2+y2b2=1,得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.解得y1=-3b2c+2a3a2+b2,y2=-3b2c-2a3a2+b2.因为AF→=2FB→,所以-y1=2y2.即3b2c+2a3a2+b2=2·-3b2c-2a3a2+b2.得离心率e=ca=23.(2)因为|AB|=1+13|y2-y1|,所以23·43ab23a2+b2=154.由ca=23得b=53a,所以54a=154,得a=3,b=5.椭圆C的方程为x29+y25=1.从近两年的高考试题看,椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的热点内容,特别是标准方程和离心率几乎年年涉及,三种题型均有可能呈现,其中解答题以中高档题目为主,其命题特征是常与向量、不等式、最值等知识结合命题,并注重通性通法的考查,在解答时,一定要注意解题的规范化.规范解答之十六由直线与椭圆的位置关系求参数的值(12分)(2012·揭阳模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为(-a,0),若点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且QA→·QB→=4.求y0的值.【规范解答】(1)由e=ca=32,得3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.················2分由题意可知12×2a×2b=4,即ab=2.解方程组a=2b,ab=2,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.·················4分(2)①由(1)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).于是A,B两点的坐标满足方程组y=kx+2x24+y2=1,消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2x1=16k2-41+4
本文标题:2013届高考理科数学第一轮基础复习课件3-椭圆
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