山东大学 量子力学考研辅导(3)

1第五部分定态问题的常用近似方法一、学习要点定态非简并微扰论令，且能级非简并，则'ˆˆˆ0HHH)0(nEnmmnmnnnnnnnnEEHHEEEEE)0()0(2)0()2()1()0(|'|'nmmmnmnnnnnEEH)0()0()0()0()1()0('2其中dHHnmmn)0()0*('ˆ'关键是求，并知道的精确解mnH'0ˆH2、定态简并微扰论0ˆH令，的本征能量为，本征函数为，设时是重简并的：'ˆˆˆ0HHH)0(mE)0(nE,2,1,0,)0(mmnmk.,,2,1,kii那么与对应的0级近似波函数选哪一个？)0(nE选哪一个也不合适！最好的方法是选取其线性组合，即3kiiinc1)0(实际上在考虑微扰后要分裂，每一个分裂的能级都应对一个新的0级波函数，并由上式给出。)0(nE将上式代入一级近似方程可得系数满足方程}{ic0'''''''''21)1(212)1(2221112)1(11knkkkkknkncccEHHHHEHHHHEH由久期方程可得，并分别代入上式可得一组系数从而给出所对应的0级近似波函数：)1()1(2)1(1)1(,,,nknnnEEEE)}({ic),,2,1()1(kEn4kckiiin,,2,1,1)0(相应的一级近似能量为)1()0(nnnEEE如果有重根，则某个能态仍是简并的，相应的0级近似波函数仍不能确定。)1(nE因而求解一级近似能量和0级近似波函数的关键仍是求在简并态中的矩阵元'ˆH),,2,1(kiidHHjiij'ˆ'*如果此时中所有非对角元素均为0，即则就是0级近似波函数，此时每一个分裂能级对应一个。'ˆHjiHij,0'k,,,21i为什么？5因为我们已经证明：在利用上述程序给出的新的0级波函数中是对角化的，故可以选为0近似波函数。'ˆH}{i注意：求解简并微扰问题的基本思想是：'ˆH一般态中是非对角化的。我们令使在新的中是对角化的，这等于将作个幺正变换，使之变成。}{iHˆkiiinc1)0()0(n}{i}{)0(n在这个新的基矢下，（从而）是对角化的。而幺正变换矩阵就由展开系数给出。关键是求这个幺正变换矩阵。'ˆHHˆ)},,2,1(,{kici这个幺正矩阵可以将一组不能使H对角化的基矢变成可以让其对角化的基矢。6a.根据体系Hamilton量形式和对称性b.满足问题的边界条件3、变分法1)确定试探波函数原则：c.应包含一个或多个变分参数2)求Hamilton在试探波函数中的平均值HHHE|ˆ|3)求此平均值对变分参数λ的极值0)()(dHddHd4)求出λ并由此得到基态能量和波函数7二、例题5.2已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为010100000010101010ˆ0EH其中．试用微扰方法求二级近似能量和一级近似态矢．00,0,EE提示：需要思考两个问题解：按照微扰论的思想，可将哈密顿写为1.是否H0表象？2.是否简并？'ˆˆˆ0HHH如不是H0表象,如何给出的矩阵元？'ˆH8其中010100000'ˆ010101010ˆ00HEH显然不是H0表象。但由H0的矩阵表示可以求出零级近似能量和相应态矢。12121,2;10121,0;12121,2)0(30)0(3)0(2)0(2)0(10)0(1EEEEE二级近似能量和一级近似态矢为显然这是属于非简并微扰论的内容。9)0(3)0(3)0(131)0(2)0(2)0(121)0(11)0(3)0(1231)0(2)0(122111)0(11''|'||'|'EEHEEHEEHEEHHEE其中2121010100000)1,2,1(4'')0(1)0(111HH2121010100000)1,0,1(22'')0(1)0(221HH0121010100000)1,2,1(4'')0(1)0(331HH将上述矩阵元代入近似能量和态矢表达式，有10)2/(12)2/(12122,242200)0(20)0(110201EEEEEE类似计算得到)2/(10)2/(121,00022EEE)2/(12)2/(121,24220030203EEEEE﹟115.3在表象中的矩阵为0ˆHHˆ)0(3)0(2)0(1**00ˆEbabEaEH其中为实数，且比小得多，试用微扰论求能量到二级近似．)3,2,1()0(iEi|||,|ba||)0(iE分析：这显然是非简并微扰论处理的问题。矩阵元都知道，直接利用公式就可以。目的：熟悉利用公式解：)0(3)0(2)0(10000000ˆEEEH00000'ˆ**babaH3,2,1,,|'|')0()0(2)0(nmEEHHEEnmmnmnnnnn12代入公式3,2,1,,|'|')0()0(2)0(nmEEHHEEnmmnmnnnnn则)0(3)0(1231)0(2)0(122111)0(11|'||'|'EEHEEHHEE)0(3)0(12)0(1||EEaE)0(3)0(2232)0(1)0(221222)0(22|'||'|'EEHEEHHEE)0(3)0(22)0(2||EEbE)0(2)0(3223)0(1)0(321333)0(33|'||'|'EEHEEHHEE)0(2)0(32)0(1)0(32)0(3||||EEbEEaE﹟13RrRrRZeRrrZeV,32,2222如果类氢原子核是半径为的均匀带电球面，结果又如何？R5.4考虑到类氢原子核不是点电荷，而是半径为的均匀带电的球体，用微扰方法计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正．已知电子在球形核电场中的势能为RZe提示：关键是写出微扰项来（1）基态波函数aZreaZ33100为非简并（2）点电荷Coulumb势rZerV2)(（3）均匀带电球面的势能RrRZeRrrZeV,,22214解：基态能量是非简并的，采用非简并微扰论先写出微扰算符来，它完全是由势修正带来的。故能量的一级修正为RrrZeRrRZeRrrZerVH,32,0)('ˆ22222100|'ˆ|100)1(HErrHd'ˆ420*rrrRrReaeZRaZrd132142022/2324因,aRr有1/2aZre此时32240234324)1(52d2324aReZrRrRrraeZERaZreaZ3310015当把原子核看作半径为R的均匀带电球面时，由电磁学知识可知RrRZeRrrZeV,,222由此带来的微扰项为RrRZerZeRrrZerVH,,0)('ˆ222算出的能级修正为rRrreaeZERaZrd402/2324)1(32240232432d4aReZrRrraeZR﹟165.5一维无限深势阱中的粒子受到微扰的作用，其中为常数，求基态能量的二级近似和波函数的一级近似。)0(cos'ˆaxaxAH)0(axA解：根据公式nmmnmnnnnnEEHHEE)0()0(2)0(|'|'nmmmnmnnnEEH)0()0()0()0('分析：题意非常明确，由所给条件套公式即可。17且2222)0(2amEmaxxaxxamam,000sin2)0(对1D无限深势阱，基态n=1，则22mAamdxA0)0(2)0(*2xdxaaaxmaAa2sin2sin220dxaxaxaxmaAasincossin20xdxaxamaAa2sinsin0dxHHmm)0(1)0(1ˆ*)0(cos'ˆaxaxAH18由此可以得出222222262aAa2222222222242202aaAa)0(2)0(122111)0(11'EEHHEE02sin2.2422sin22222221axaaaAaxa),0(0)0(2sin3sin2222axxaxaxaAaxa﹟195.7试求哈密顿量为的体系的一级近似能量，式中a与b是小的常数．4322222212ˆbxaxxdxdH解：显然，根据题意，有nmmnmnnnnnEEHHEE)0()0(2)0(|'|'分析：题意非常明确，是一维谐振子体系的非简并微扰论问题根据公式432220'ˆ,212ˆˆbxaxHxpH2021)0(nEnxxbxaxxHEnnnnnd)())(('43*)1(利用递推公式22222)2)(1(212)1(1nnnnnnnnnxxxxxxbnnd)()(2*2xxxxbnnd)()(4*21﹟并利用正交归一关系mnnmxxxd)()(*可以算出)122(4324)1(nnabEn故一级近似能量为)1()0(nnnEEE)122(432124nnabn225.9一质量为的粒子在一维势场中运动，势函数为axaaxVaxaaxxV3,0||,3,03||,)(0将部分视为在宽度为的无限深方势阱中的微扰，用微扰方法求基态一级近似能量．axVaxV3||,;3||,00Va6这是个非简并微扰问题。关键是记住宽度为a的对称势阱的波函数及本征能量！V0V(x)0a3ax2/||2/||0,6,4,2)/sin(/2,5,3,1)/cos(/2)(axaxnaxnanaxnaxn23解：不考虑微扰时，基态能量与波函数为axaxaxaxaE3||03||)6/cos(3/1)(721222)0(1axaxVH||0||'ˆ0而微扰算符为能量的一级修正为1|'ˆ|1'ˆ11)1(1HHE23313d6cos3020VxaxaVaa故一级近似能量为233137202221VaE﹟24其中是小球的半径，是球心的位置．试利用这一结果计算氢原子1s态能级由于电子不是点电荷而带来的修正．已知0rrarsear/2/1211)(a为Bohr半径．5.12可以证明若点电荷在静电场中的势能为