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第五节常见连续型随机变量的分布一、均匀分布二、指数分布三、正态分布].,[~,],[,,0,,1)(baUXbaXbxaabxfX记为上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度设连续型随机变量定义一、均匀分布.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数xo)(xFab1均匀分布的期望与方差()()dEXxfxxbaxxabd1).(21ba222221()()dd3baaabbEXxfxxxxba222222()()()[()]3212aabbabbaDXEXEX例1上的均匀分布,,服从区间设随机变量63试求方程02442xx有实根的概率.解:的密度函数为随机变量其它06391xxf有实根方程设:02442xxA024442PAP则021P21或P16321199dxdx949232}2{}1{PP)(~.,0.0,0,0,e)(eXXxxxfXx记作分布的指数服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义分布函数.0,0,0,e1)(xxxFx二、指数分布,或~().XE某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景对于任意的0ab,babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(例2分钟之间的概率.钟到分话间,求你需等待好在你前面走进公用电.如果某人刚为参数的指数随机变量以(单位:分钟)是间设打一次电话所用的时2010101X的密度函数为X00010110xxexfx2010XP则1020ee21ee2325.0解:指数分布的期望与方差xxxfXEd)()(xxxde012220()()dedxEXxfxxxx200e2edxxxxx22222211DX00eedxxxx某人乘车或步行上班,他等车的时间X(单位:分钟)服从参数为0.2的指数分布,如果等车时间超过10分钟,他就步行上班.若以Y表示他一周(五天工作日)步行上班的天数,求:他一周内至少有一天步行上班的概率.例3解0.20.2e0~()00.xxXfxx,;,≤(1)则他步行上班(等车超过10分钟)的概率为100.220{10}1{10}10.2edexPXPXx≤25,enp2~(5,e)YbY服从的二项分布,即(2)Y表示他一周(五天工作日)步行上班的天数25{1}1{0}1(1e)PYPY≥).,(~,,,)0(,,,eπ21)(22)(22σμNXσμXσσμxσxfXσμx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义三、正态分布正态概率密度函数的几何特征;)1(对称曲线关于μx;π21)(,)2(σxfμx取得最大值时当;0)(,)3(xfx时当;)4(处有拐点曲线在σμx;,)(,,)6(轴作平移变换着只是沿图形的形状不变的大小时改变当固定xxfμσ;)5(轴为渐近线曲线以x.,,,,,)(,,)7(图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定σσxfσμ正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的期望与方差xxxfXEd)()(xeσxσμxd21222)(tσμx令,tσμx221()()d2tEXμσtettteσteμttd2d212222.μ2()DX正态分布下的概率计算tσxFxσμtdeπ21)(222)(}{xXP?原函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为.,deπ21)(22xtxxt标准正态分布的密度函数图形例1证明).(1)(xxxxxxdeπ21)(22xxxdeπ2122xxdeπ2122xxxdeπ2122).(1x证明标准正态分布的密度函数为偶函数(0)=0.5()1()aa()1()PXaa()()()PaXbba()()()()[1()]2()1Xaaaaaa}.225.1{),1,0(~XPNX求已知解}225.1{XP)25.1()2(0.97730.8944例20.0829.例3设X~N(0,1),求P(X-1.96)P(|X|1.96)=1-Φ(-1.96)=1-[1-Φ(1.96)]=0.975=2Φ(1.96)-1=0.95=Φ(1.96)解:P(X-1.96)P(|X|1.96)例4设X~N(0,1),P(X≤a)=0.9515,P(X≤b)=0.0495,求a,b.解:Φ(a)=0.95151/2,所以,a0,反查表得:Φ(1.66)=0.9515,故a=1.66而Φ(b)=0.04951/2,所以,b0,Φ(-b)=1-Φ(b)=1-0.0495=0.9505,-b0,反查表得:Φ(1.65)=0.9505,即-b=1.65,故b=-1.65}{dXcP}.{),,(~2dXcPσμNX求已知}{)(xXPxF)(}{xxXP)()(cFdF.σμcσμd.}{σμcσμddXcP即2~(,)XN~(0,1).XUN定理若,则正态变量的标准化)1()5(51FFXP⑴.)321()325(311131116293.08413.04706.0例6设随机变量X~N(2,9),试求(1)P{1≤X≤5}(2)P{X0}(3)P{∣X-2∣6}解:010PXPX(2).)320(13217486.03226126PXPX(3).6261XP841XP)]324()328([1221212210.97730.0454公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X~N(170,62),问车门高度应如何确定?解设车门高度为hcm,按设计要求即01.0hXP99.0hXP)6170(h0.99hXP故查表得例7、因为分布函数非减(2.33)0.991702.336h≥2.336170184hcm≥1、已知X~N(3,22),且P{XC}=P{X≤C},则C=().2、设X~N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{|X-μ|σ}=()①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定3③||(1)2(1)1XP图示:f(x)x0μP(X≤μ)P(X≥μ)练习:这说明,X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当时,1,0~NX6826.01121XP22210.9546PX9974.01323XP正态变量的3原则将上述结论推广到一般的正态分布,6826.0)|(|YP(||2)0.9546PY9974.0)3|(|YP可以认为,Y的取值几乎全部集中在]3,3[区间内。这在统计学上称作“3准则”(三倍标准差原则)。),(~2NY当时,322368.26%95.46%99.74%
本文标题:常见连续型随机变量的分布
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