高考数学利用导数研究函数的极值最值课件

第三节利用导数研究函数的极值、最值(全国卷5年13考)获取更多免费资料以及真题演练请关注公众号：安博志愿规划【知识梳理】1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值_____,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧_________,右侧_________,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.都小f′(x)0f′(x)0(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_____,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧_________,右侧_________,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.都大f′(x)0f′(x)02.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_________的曲线,那么它必有最大值和最小值.连续不断(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤:①求函数y=f(x)在(a,b)内的_____;②将函数y=f(x)的各极值与________________________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.极值端点处的函数值f(a),f(b)【常用结论】1.辨明两个易误点(1)求函数极值时,误把导数为0的点作为极值点.(2)易混极值与最值,注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.2.明确两个条件(1)f′(x)0在(a,b)上成立,是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.3.记住两个结论(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.(2)若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值.()(2)函数的极大值一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.()(5)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.()答案:(1)×.例如函数f(x)=x,在(1,2)内不存在最值.(2)×.函数的极大值比局部的函数值大,不一定大于极小值.(3)×.对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的必要条件.(4)√.最值和极值是不同的概念.函数的最值可能是极值,也可能是在区间端点处取得.(5)√.f′(x)=3x2+2ax-1,判别式Δ=4a2+120,所以f′(x)=0有两个不同的实根,所以函数f(x)必有2个极值.2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由函数极值的定义和导函数的图象可知,f′(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点,其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.3.(2018·沈阳模拟)设函数f(x)=lnx-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则a的取值范围为________.12【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-ax-b,由f′(1)=0,得b=1-a.所以f′(x)=-ax+a-1=①若a≥0,当0x1时,f′(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f′(x)0,f(x)单调递减,所以x=1是f(x)的极大值点.1x1x2x1ax1ax1axx.xx②若a0,由f′(x)=0,得x=1或x=-.因为x=1是f(x)的极大值点,所以-1,解得-1a0.综合①②得a的取值范围是a-1.答案:(-1,+∞)1a1a题组二:走进教材1.(选修2-2P28例4改编)若函数f(x)=2x3-x2+ax+3在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为()A.(-8,-4)B.[-8,-4)C.(-8,-4]D.(-∞,-8]∪[-4,+∞)【解析】选C.由题意f′(x)=6x2-2x+a,则f′(-1)f′(1)0,即(a+4)(a+8)0,得-8a-4,当a=-4时,函数f(x)=2x3-x2+ax+3在区间(-1,1)恰有一个极值点,当a=-8时,函数f(x)=2x3-x2+ax+3在区间(-1,1)没有极值点.2.(选修2-2P32T6改编)函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】选B.因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)0;当x∈(1,e]时,f′(x)0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值ln1-1=-1.1x1xx考点一利用导数求函数的极值问题【题组练透】1.若函数f(x)=x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是()3xa321(,4)317D.(2,)410A.(2,)310B.[2,)31017C.(,)34【解析】选D.因为f(x)=x2+x+1,所以f′(x)=x2-ax+1.函数f(x)=x2+x+1在区间上有极值点可化为f′(x)=x2-ax+1=0在区间上有解,即a=x+在区间上有解,3xa323xa321(,4)31(,4)31(,4)31x设t(x)=x+,则t′(x)=1-,令t′(x)0,得1x4,令t′(x)0,得x1.所以t(x)在(1,4)上单调递增,在上单调递减.所以t(x)min=t(1)=2,又t,t(4)=,所以a∈1x21x131(,1)3110()3317417(2,).42.(2018·德阳模拟)已知函数f(x)=x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在(-1,0)与(0,1)内,则2a-b的取值范围是()3D.(1,)233A.(,)223B.(,1)213 C.(,)22【解析】选A.因为函数f(x)=x3+2ax2+3bx+c,所以f′(x)=3x2+4ax+3b,因为f(x)的两个极值点分别在区间(-1,0)与(0,1)内,即3x2+4ax+3b=0的两个根分别在区间(0,1)与(-1,0)内,所以令z=2a-b,f00,f10, f10,所以转化为在约束条件为时,求z=2a-b的取值范围,可行域如下阴影(不包括边界),3b0,34a3b0,?34a3b0所以由图可知,z在A处取得最大值,在B处取得最小值-,因为可行域不包含边界,所以z=2a-b的取值范围为3(,0)4323(,0)43233(,).223.已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x0),因而f(1)=1,f′(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.ax2x(2)由f′(x)=1-,x0知:①当a≤0时,f′(x)0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;axaxx②当a0时,由f′(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f′(x)0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.【规律方法】利用导数研究函数极值的一般流程考点二利用导数求函数的最值问题【典例】(2019·绍兴模拟)已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)有极值,且函数f(x)=(x+a)ex的极值点是g(x)的极值点,其中e是自然对数的底数(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值).(1)求b关于a的函数关系式.(2)当a0时,若函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值为M(a),证明:M(a)-.73【解析】(1)函数f(x)=(x+a)ex,所以f′(x)=ex(x+a+1),令f′(x)=0,解得x=-a-1,因为函数g(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R),所以g′(x)=3x2+2ax+b,因为函数g(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)有极值,且函数f(x)=(x+a)ex的极值点是g(x)的极值点,所以g′(-a-1)=3(-a-1)2+2a(-a-1)+b=0,解得b=-a2-4a-3.Δ=4a2-12b=4(2a+3)2,得a≠-.所以b=-a2-4a-3(a≠-).3232(2)F(x)=f(x)-g(x)=(x+a)ex-x3-ax2-bx=(x+a)ex-x3-ax2+(a2+4a+3)x,F′(x)=(x+a+1)ex-3x2-2ax+a2+4a+3=(x+a+1)ex-(x+a+1)(3x-a-3)=(x+a+1)(ex-3x+a+3),令h(x)=ex-3x+a+3,则h′(x)=ex-3,令h′(x)=0,得x=ln3,h(ln3)为h(x)的最小值,且h(ln3)=6-3ln3+a,因为a0,所以h(ln3)0,所以h(x)0,对于F′(x)=(x+a+1)h(x)=0,有唯一解x=-a-1,当x∈(-∞,-a-1)时,F′(x)0,当x∈(-a-1,+∞)时,F′(x)0,所以F(-a-1)为F(x)的最小值,M(a)=F(-a-1)=-e-a-1-(a+1)2·(a+2),当a0时,M(a)是减函数,所以M(a)M(0)=--2-,所以M(a)-.本例的模板化过程:1e7373【解析】(1)推导出f′(x)=ex(x+a+1),令f′(x)=0,得x=-a-1,求出g′(x)=3x2+2ax+b,从而g′(-a-1)=3(-a-1)2+2a(-a-1)+b=0,由此能求出b关于a的函数关系式.(2)F(x)=f(x)-g(x)=(x+a)ex-x3-ax2+(a2+4a+3)x,推导出F′(x)=(x+a+1)ex-3x2-2ax+a2+4a+3=(x+a+1)(ex-3x+a+3),令h(x)=ex-3x+a+3,则h′(x)=ex-3,令h′(x)=0,得x=ln3,h(ln3)=6-3ln3+a为h(x)的最小值,推导出F(-a-1)为F(x)的最小值,M(a)=F(-a-1)=-e-a-1-(a+1)2·(a+2).由此能证明M(a)-.73【误区警示】解答本题易有如下失误:(1)忽视函数的定义域.(2)求导错误.【规律方法】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.(3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.【对点训练】1.设函数f(x)=x3-3x2+2x,若x1,x2(x1x2)是函数g(x)=f(x)-λx的两个极值点,现给出如下结论:①若-1λ0,则f(x1)f(x2);②若0λ2,则f(x1)f(x2);③若λ2,则f(x1)f(x2)其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为函数g(x)=f(x)-λx,所以g′(x)=f′(x)-λ,令g′(x)=0,所以