轧钢中的浪费1.背景?你见过轧钢吗?把粗大的钢坯变成合格的钢材(如钢筋,钢板),通常要经过两道工序,第一道是粗轧(热轧),形成钢材的雏形;第二道是精轧(冷轧),得到规定长度的钢材,即成品.粗轧的长度是随机的,大体上服从正态分布,其均值可由轧机调整,方差则由设备的精度决定,不能随意调整.如果粗轧后的钢材长度大于规定的长度,则精轧时切除多出的部分;如果粗轧后的钢材长度小于规定的长度,则整根报废.因此,我们应该综合这两种情况,使得总的浪费最小.相关问题(1)确定从家里出发的时间,以便不错过火车或飞机;(2)包装机打包时均值的确定问题.问题分析记x为粗轧后钢材的长度,则为一随机变量,设x~N(m,σ2)(注:mσ时x几乎都是=0,我们这里是近似反映现实),其概率密度函数为p(x).这里σ已知,m待定.记).(lxPP由前可知,轧钢中的浪费由两部分构成:当x=l时,浪费钢材的长度为x-l;当xl时,浪费钢材的长度为x.这两种事情都有可能发生发生,由密度函数的定义可知,粗轧时的长度在区间[x,x+dx]内的概率为p(x)dx,因此,二者之和即总的浪费长度为问题重述:已知成品钢材的规定长度l和粗轧后钢材长度的均方差σ,试确定粗轧后钢材的长度m,使得当轧机调整到m进行粗轧,再通过精轧来得到成品钢材时的浪费最小.(1)lldxxxpdxxplxW0)()()()(1lldxxxpdxxplxW)()()((2)lPmWPdxxpmdxxxpdxxpl可化简得利用)1(,)(,)(,1)((2)也可由直接的方法得到:设想粗轧了N根钢材:(3)lPmNlPNmNW(2)式就是总浪费量.当然,如果粗轧车间追求的是效益而不是产量的话,那么浪费的多少不应该以钢材的平均浪费量为标准,而应该以得到成品材浪费的平均长度来衡量,也即将(3)式中的分母改成PN.2.建模与求解平均每根成品材浪费的钢材长度为(4)lPmPNlPNmNJ1由于l是常数,所以求(4)式的最小与只保留第一项时的最小值点一样,即(5))()(mPmmJ求解为求出概率P,进行变量代换,以便服从标准正态分布,令,mxy)(2121)()(22)(222mldyedxedxxpmpmlylmxl则.,,lbma记分布的分布函数为标准正态这里(5)式可表示为(6))()(baaaJ0)()(,)(0)(baabayaJ有函数为标准正态分布的密度并记令(7)zbzzzzba)(/)(.0,上式可化为则记(7)式就是最优解z*所满足的方程.不能求出z的解析解,只能求数值解.先从理论上探讨一下..253.1)0(.0)(,0;0)(,0,.)()()(1)()()()()(,)(/)()(222最小故时时由此可知则记FzFzzFzzzzzzzzzFzzzzF.0,)7(,)()(),(1时只有唯一解在有两个解故注意到zFFlbF(z)zbz我们可以用图解法求解.也可以利用标准正态分布的函数值表来制作简表,以方便查找.z00.40.60.811.21.41.6F(z)1.2531.3801.5781.9202.4773.3574.7396.921z1.82.02.22.42.62.83.04.0F(z)10.4116.1025.6041.8970.68123.2222.37472z1.781.791.801.7801.781F(z)9.98310.1910.419.98310.004z2.22.32.262.272.2662.2652.4F(z)25.6032.6229.5830.3130.0229.9441.89例(1)若l=2.0m,σ=20cm,则b=10,我们发现F(1.8)=10.41,F(1.6)=6.921,故若保留到小数点后面一位的话,z*=1.8;若要求更高的精度,则作更详细的表.z1*=1.78,z2*=1.781.从而(以z1*=1.78为例)a*=11.78,m*=2.36.此时J1=m/P(z)-l=0.45.(2)若l=6.0m,σ=20cm,则b=30,我们发现F(2.2)=25.60,F(2.4)=41.89,,z*=2.3;z1*=2.27,z2*=2.266.从而a*=32.27,m*=6.45.此时J1=0.53.
本文标题:轧钢中的浪费
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