2.3-离散型随机变量的均值和方差

2.3离散型随机变量的均值和方差高二数学选修2-3侯课准备1.坐姿端正，精神饱满，保持安静2.准备好笔记本，练习本，双色笔3.要有自信，相信自己是最棒的4.侯课读笔记学习目标1.理解离散型随机变量均值的概念，掌握离散性随机变量均值的求法2.理解离散型随机变量均值的性质3掌握两点分布，二项分布的均值高考占位：第19第2问，和离散型随机变量的分布列结合着考查，共5分一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．复习引入对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.按3：2：1的比例混合，混合糖果中每一粒糖果的重量都相等.定价为混合糖果的平均价格才合理问题情景18元/kg24元/kg36元/kgm千克混合糖果的总价格为321182436666mmm18元/kg24元/kg36元/kg情景探究按3：2：1混合以下糖果182436182436PXPXPEXX平均价格为32118243666632118243623/.666mmmmkg元362418PX362616二、互动探索1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）设他所得环数为X,求X的分布列(2)求他所得的平均环数是多少？2104332221111)2(X（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列X1234P10410310210121014102310321041X1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）设他所得环数为X,求X的分布列(2)求他所得的平均环数是多少？一、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxXE2211）（则称为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x······1p2pip······nxnpX()(),1,2,3iiPaxbPxi所以，的分布列为1122112212(()()(())))(nnnnnEaxbpaxbpaxbpaxpxpxpbpEabaEppaEbb即1：则,ab若EaEbP1axb2axbnaxb1p2pnpiaxbip1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E（ξ）=.2、随机变量ξ的分布列是2.4ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,则a=b=.0.40.1归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随机变量可能的取值。②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。③、求出均值(期望)。1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：从以数据你能否说明谁的射击水平高？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解9,921）（）（XEXE表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?11111030.6236E对你不利!劝君莫参加赌博.X10-30P612131例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？解：X的可能取值为0，1，其分布列如下X10P0.70.37.0)7.01(07.01）（XE例题讲解则E(X)＝p若X~H(N，M，n)则E(X)＝nMN若X~B(n，p)则E(X)＝np若X~B(1，p)各种不同概率模型下的数学期望∴E（ξ）=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)若ξ~B(n，p)，则E（ξ）=np不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0(2)322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.2EX7.03离散型随机变量的均值的理解(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它描述X取值的平均状态．(3)变量Y＝aX＋b的均值．E(aX＋b)＝aE(X)＋b说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数，此式可有以下几种特殊形式：①当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的均值，等于常量与随机变量均值的乘积．②当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，此式表明随机变量与常量和的均值，等于随机变量的均值与这个常量的和．③当a＝0时，E(b)＝b，此式表明常量的均值等于这个常量.2．设ξ的分布列为：又设η＝2ξ＋5，则Eη＝()ξ1234P16161313A.76B.176C.173D.323D知识补充1、离散型随机变量X的均值（数学期望）1niiiEXxp2、均值的性质()EaXbaEXb3、两种特殊分布的均值（1）若随机变量X服从两点分布，则EXp（2）若，则~(,)XBnpEXnp反映了离散型随机变量取值的平均水平.（3）若X~H(N，M，n)，则E(X)＝nMN1．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则E（ξ）值的是()A．4B．4.5C．4.75D．52．若随机变量X服从二项分布B4，13，则E（X）的值为()A.43B.83C.133D.893．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E（ξ）＝3，则P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64BAC4．已知ξ～Bη～B，且E(ξ)＝15，则E(η)等于()A．5B．10C．15D．201,2n1,3nBA6．已知X的概率分布如下，E(X)＝7.5，则a＝________.X4a910P0.30.1b0.274Ck7．若随机变量X的分布列是P(x＝k)＝·0.1k·0.94－k，k＝0,1，2,3,4.则E（X）＝________.8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数数学期望E（ξ）＝________.0.423前面，我们认识了数学期望.数学期望:一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为ξx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E11xp22xp…kkxp…nnxp为ξ的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．第二课时：随机变量取值的方差和标准差如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？下面的分析对吗？∵80.290.6100.29E280.490.2100.49E∴甲、乙两射手的射击水平相同.（你赞成吗？为什么？）显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.探究对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.方差定义一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况在一组数：x1,x2,…,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：x2222121[()()()]nSxxxxxxn类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..新课离散型随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEp则称为随机变量的方差.21()niiixEp一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：P1xix2x······1p2pip······nxnp称D为随机变量的标准差.定义它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.记忆方法:“三个”2()ED即练习一下1.已知随机变量x的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求D和σ.00.110.220.430.240.12E解：22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D1.21.095D2.若随机变量x满足P（x＝c）＝1，其中c为常数，求Ex和Dx.Ex＝c×1＝cDx＝（c－c）2×1＝0练习再看一例例2试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4解:∵80.290.6100.29E280.490.2100.49E∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又∵D0.4,2D0.8,∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.思考例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为，其分布列为0123P0.30.30