函数及其图象复习

《函数及其图象》复习长兴县后洋中学邱英杰一、基础知识与基本技能1.特殊点坐标；2.自变量取值范围；3.正比例函数；4.反比例函数；5.一次函数；6.二次函数.特殊点坐标1.象限符号2.坐标轴上的点的坐标3.对称点坐标在x轴上的点（x,0）在y轴上的点(0,y)P（x,y）关于x轴对称点P1(x,-y)关于y轴对称点P2(-x,y)关于原点对称点P3(-x,-y)自变量取值范围函数形式：分式根式0次幂x≠0x≥0x≠0除这三种以外自变量取值范围一般为一切实数（实际情况除外）1yxyx0yx正比例函数1.解析式；2.图象及其性质：y=kx(k≠0)（1）直线（2）图象及性质反比例函数1.解析式2.图象及其性质（1）双曲线（2）图象及性质(0)kyxx一次函数1.解析式2.图象及其性质y=kx+b(k≠0)（1）直线（2）图象及性质注：其中k决定图象的大致趋势，b决定图象与y轴的交点二次函数1.解析式2.图象3.性质1.解析式（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+k其中(h,k)为顶点坐标y=a(x-x1)(x-x2)其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根2.图象抛物线3.性质（1）开口方向：（2）对称轴：（3）顶点坐标：a0开口向上；a0开口向下224(,)(,)244,()24bacbhkaabacbxhyaa或当时有最大小值或k2,bxhaab当异号时,对称轴在y轴的右边;当a,b同号时,对称轴在y轴的左边.（考试说明中不要求学生记忆）（4）与x轴交点：（5）与y轴交点：（6）图象移动：当△0时与x轴有两个交点；当△=0时与x轴有一个交点；当△0时与x轴没有交点；c0，与y轴交于正半轴；c=0，与y轴交于原点；c0，与y轴交于负半轴；与顶点坐标(h,k)有关当h0时，图象向右平移，当h0时，图象向左平移；当k0时，图象向上平移，当k0时，图象向下平移（在复习中，可根据平移的性质，结合顶点式，只需关注顶点变化即可）二、函数与其他代数知识的综合运用函数与其他代数知识的综合运用仍然是中考的热点之一，有的与方程、三角函数等知识相结合，有的是传统函数题的新探究，有的是函数与新的数学知识相结合.这类题目多安排在最后几道，主要考查综合运用知识的能力，其难度比较深，运算量比较大，对式的恒等变形、用字母表示数的代数知识及数学思想方法等要求特别高.1.函数与方程已知抛物线与直线交于A、B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式.12yx2164yx本题以函数知识为框架，以方程知识为工具，将函数与方程揉和为一体.第（1）小题把求直线与抛物线的交点问题转化为解方程组问题可求得A、B两点的坐标；第（2）小题把求点的坐标问题转化为三角形相似问题，由C、D两点坐标求出线段AB的垂直平分线的解析式.有一个直角三角形ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标.2.函数与三角函数3yx根据题目要求，直角三角形ABC的直角顶点A要放在反比例函数的图象上，而函数图象有两支，直角三角形ABC又不是等腰直角三角形，所以会出现四种情况，在每一种情况下，根据直角三角形的特殊边角关系，即可求出点C的坐标.这种分情况讨论求解的题目不仅要求思维灵活、严谨，而且要求具有很好的知识基础，如本题中的特殊直角三角形的边角关系的计算要达到“自动化”的程度.3.函数与代数式第（1）小题是把抛物线解析式的一般形式化为顶点式，必须熟练掌握；第（2）小题求解必须明确，开口向下的抛物线，它的最高点是它的顶点，即它的最大函数值为2.25，那么代数式的正整数值就只有1或2，再分别求出的值；第（3）小题对代数式的恒等变形要求很高，要谨慎代数式的表示，用求差法就可以比较它们的大小，但要注意题目条件“点M在点N左边”的有效合理利用.已知抛物线y=ax2+x+2(1)当a=-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）若代数式-x2+x+2的值为正整数，求x的值；（3）当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m,0），当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n,0），若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小。几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性。函数与几何的综合题，对考查学生的双基和探索能力有一定的代表性，通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何的性质，沟通函数与几何的有机联系，可以培养学生的数形结合的思想方法。三、几何与函数问题已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）连结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．BADMEC1.函数与基本几何图形根据几何图形的特征，选取适当的方法建立函数式。本题解题思路：（1）取AB中点H，联结MH；（2）先求出DE；（3）分二种情况讨论。2.函数与几何动点1.如图，抛物线的顶点为P(1，0)，一条直线与抛物线相交于A(2，1)，B(-0.5,m)两点．⑴求抛物线和直线AB的解析式；⑵若M为线段AB上的动点，过M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接NP、AP，试探究四边形MNPA能否为梯形，若能，求出此点M的坐标；若不能，请说明理由．PBAOMN此题中不变的是AP的位置，要使四边形MNPA为梯形，MN与AP就不可能平行，只能使PN∥AM，那么只需过点P作AB的平行线，然后判断平行与抛物线的交点是否在BP之间即可。四、函数与应用问题函数与应用问题的解决类似于方程与应用题，主要是找出题中的等量关系，并根据实际问题确定自变量的取值范围，再根据要求解决具体的问题。某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门．乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司的两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式．（2）当购买量在什么范围内时，选择哪种方案付款较少？说明理由．1.应用中的最值：现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂A、B两种不同规格的车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢，费用为每节8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试出y与x之间的函数关系式．（2）如果每节A型车厢最多装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢方案？2.应用中的方案问题：