函数、极限与连续(高等数学)

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念第一章主要内容函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质奇偶性单调性有界性周期性1、函数的定义．记作的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它按照一定法，变量集．如果对于每个数是一个给定的数是两个变量，和设定义　)(xfyxyyDxDyx叫做因变量．叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集yxD.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW▲函数的两要素:定义域与对应法则.(())0x)(0xf自变量因变量对应法则fxyDW辨别下列各对函数是否相同,为什么?23.()()fxtxt与g2.()()fxxxx与g1.()1()xfxxx与g不同,定义域不同不同,对应关系不同相同,定义域和对应关系都相同▲函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成，则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根；(3)在对数式中，真数必须大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1](4)tan(),2xxkkZ在三角函数式y中，cot()yxxkkZ中，例：求下列函数的定义域［Ａ］．1(1)(1)(4)yxx1(2)11yxx即1040xx所以定义域为(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即1010xx解得11xx所以定义域为[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函数有意义,必须有且有10x10x解:(1)要使函数有意义，必须有分母(1)(4)0xx取其公共部分1,1xx14xx解所以定义域为(-3,+∞)(4)要使函数有意义,必须有101xx所以定义域为(-1,1)[B].(3)(4)1lg1xyxln(3)yx(3)要使函数有意义，必须有30x解得3x10101010xxxx或101011,1010xxxxx解得解得无解练习：P923例.设,求下列函数值32xfxx解:033(0)022f0003()2xfxx23(2)22afaa解:22222(1)32(1)(1)23bbfbbb解：13437[(1)][](4)12422ffff3332912[()][]()3231322xxxxffxfxxxxx0(0),(3),()fffx1）2(2),(1)fafb2）[(1)],[()]ffffx3）33(3)032f(1)函数的奇偶性:偶函数奇函数有对于关于原点对称设,,DxD;)()()(为偶函数称xfxfxf;)()()(为奇函数称xfxfxfyxoxyoxy3xy2、函数的性质(2)函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。1x2x21xx)()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy;0时为减函数当x;0时为增函数当x..)(,)(,,0,否则称无界上有界在则称函数成立有若XxfMxfXxMDX(3)函数的有界性:;),0()0,(上无界及在.),1[]1,(上有界及在xyoxy111设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.DxDlx)((4)函数的周期性:oyx11][xxy1T)(xfyxyo)),((xxf))(,(xfx)(1xfy说明：反函数与直接函数之间的关系则函数是一一对应设函数,)(xffDxxxffxff))(())((111.)()(21xyxfyxfy图象对称于直线的与3、反函数.)()(1称为反函数确定的由xfyxfy6、基本初等函数1）幂函数)(是常数xy2）指数函数)1,0(aaayx3）对数函数)1,0(logaaxya4）三角函数;cosxy;sinxy5）反三角函数;arccosxy;arcsinxy;cotxy;tanxy;arctanxyycotarcx1.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy2.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(4.三角函数正弦函数xysinxysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot5.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc7、复合函数设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.练习：P1011左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn或).(naxn.,,0,0axNnNn恒有时使1、极限定义N定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式00xx的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那末常数A就叫函数)(xf当0xx时的极限,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当左极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作)(0xx函数的极限与左、右极限有如下关系：0lim()xxfxA00lim()lim()xxxxfxfxA2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例判断函数1cos,0()sin,0xxfxxx≤在点处是否有极限.0x00lim()lim(1cos)0xxfxx解:00lim()limsin0xxfxx00lim()lim()0xxfxfx因为0lim()0xfx所以说明：1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者都存在但不相等，则函数的极限不存在。.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理yx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x习题：P1830lim.xxx证明不存在定理(唯一性定理)如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．定理(有界性定理)若函数f(x)当x→x0时极限存在，则必存在x0的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界．函数极限的性质).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理(保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论无穷小:极限为零的变量称为无穷小.).0)(lim(0)(lim0xfxfxxx或记作绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:).)(lim()(lim0xfxfxxx或记作在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大性质3在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质1有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论常数与无穷小的乘积是无穷小.性质2有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充无穷大与无穷小定义若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.303lim00xxxx，是例1sinsinxxxx0lim00，是例2时的无穷小量.时的无穷小量.因为所以因为所以一、无穷小量例如函数时的无穷小，但当时不是无穷小。当时，的极限不为零，所以当时，函数不是无穷小，而当时是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。1xsinx2x2xsinx0xsinx()0fxxx是(4)有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质定理在自变量的同一变化过程中sin.xxx01lim求例3limxxxx000，即是解|sin|,sinxx111而即注意这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为不存在.xx1sinlim0.01sinlim0xxx所以时的无穷小量.为有界变量,三、无穷小与函数极限的关系:证必要性,)(lim0Axfxx设,)()(Axfx令,0)(lim0xxx则有).()(xAxf充分性),()(xAxf设,)(0时的无穷小是当其中xxx))((lim)(lim00xAxfxxxx则)(lim0xAxx.A定理1),()()(lim0xAxfAxfxx其中)(x是当0xx时的无穷小.).()()(lim00xxxfxfxx或定义在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值无限增大，则称f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作)(xf四、无穷大量特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大..)(lim.20认为极限存在切勿将xfxx简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大