中南大学高等数学复习题及答案

中南大学复习题及参考答案《高等数学》一、填空题1．函数1142xxy的定义域是.解.),2[]2,(。2．若函数52)1(2xxxf，则)(xf．解.62x3．________________sinlimxxxx答案：1正确解法：101sinlim1lim)sin1(limsinlimxxxxxxxxxxx4.已知22lim222xxbaxxx，则a_____,b_____。由所给极限存在知,024ba,得42ab,又由23412lim2lim2222axaxxxbaxxxx,知8,2ba5.已知)1)((lim0xaxbexx，则a_____,b_____。)1)((lim0xaxbexx,即01)1)((lim0babexaxxx,1,0ba6．函数0101sin)(xxxxxxf的间断点是x。解：由)(xf是分段函数，0x是)(xf的分段点，考虑函数在0x处的连续性。因为1)0(1)1(lim01sinlim00fxxxxx所以函数)(xf在0x处是间断的，又)(xf在)0,(和),0(都是连续的，故函数)(xf的间断点是0x。7.设nxxxxy21,则1ny(1)!n8．2)(xxf，则__________)1)((xff。答案：2)12(x或1442xx9．函数)1ln(4222yxyxz的定义域为。解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。1040141101042222222222222yxxyyxyxxyyxyxyxz的定义域为：10|),(22yxyx且xy42}10．已知22),(xyyxyxyxf,则),(yxf.解令xyu，xyv，则,22uvuvxy，()()()fxyxyxyxy)(4222),(22vuuuvuvuvuf，22(,)()4xfxyxy11．设22),(yxxxyyxf,则)1,0(xf。)1,0(yf∵(0,1)000f2000(,1)(0,1)1(0,1)limlim2xxxxxfxfxfxx00(0,1)(0,1)00(0,1)limlim0yyyfyffyy。12．设,,cos,sin32tytxyxz则tzdd＝。解22sin3cosdzxttydt13.dxxfdddxd)(.解：由导数与积分互为逆运算得，)()(xfdxxfdddxd.14.设)(xf是连续函数，且xdttfx103)(，则)7(f.解：两边对x求导得1)1(332xfx，令713x，得2x，所以12131)7(22xxf.15．若21de0xkx，则_________k。答案：∵)d(e1limde2100kxkxbkxbkxkkkkkbbbkxb1e1lim1e1lim0∴2k16．设函数f(x,y)连续，且满足Dydyxfxyxf2),(),(，其中,:222ayxD则f(x,y)=______________.解.4442xay记DdyxfA),(，则2),(yAxyxf，两端在D上积分有：DDdyAxdA2，其中DxdA0（由对称性），aDadddy0423202.4sin即44aA，所以，.4),(42xayyxf17．求曲线2,422ayxaxy所围成图形的面积为，（a0）解：223a18.122212nnnxn；解：令2xy，则原幂级数成为不缺项的幂级数11212nnnyn，记其各项系数为nb，因为21212lim2122212limlim11nnnnbbRnnnnnnn，则20222xy，故22x.当2x时，幂级数成为数项级数1)12(21nn，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为)2,2(.19．02yy的满足初始条件411,1211yy的特解为321121xy.20．微分方程03yy的通解为xeccy321.21．微分方程0136yyy的通解为xcxceyx2sin2cos213.22.设n阶方阵A满足|A|=3，则=|AA|=.答案：311n23.11111111x是关于x的一次多项式，则该多项式的一次项系数是.答案：2;24.f(x)=312514xxx是次多项式，其一次项的系数是。解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。25.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC.26.事件A、B相互独立，且知0.2,0.5PAPB则PABU.解：∵A、B相互独立，∴P(AB)=P(A)P(B)∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.627.A，B二个事件互不相容，0.8,0.1,PAPB则PAB.解：A、B互不相容，则P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.828.对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为.解：设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为CBACBACBA，即有P(CBACBACBA)=P(A))()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBP=0.3629.已知事件A、B的概率分别为P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，则P（ABU）＝；P（AB－）＝；解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.330.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.解：P(A+B)=1–PpBAPBA1)(1)(二、单项选择题1．函数)1,0(11)(aaaaxxfxx（）A.是奇函数；B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。)(11)1()1(11)()(xfaaxaaaaxaaxxfxxxxxxxx所以B正确。2．若函数221)1(xxxxf，则)(xf（）A.2x；B.22x；C.2)1(x；D.12x。解：因为2)1(212122222xxxxxx，所以2)1()1(2xxxxf则2)(2xxf，故选项B正确。3．设1)(xxf，则)1)((xff=（）．A．xB．x+1C．x+2D．x+3解由于1)(xxf，得)1)((xff1)1)((xf＝2)(xf将1)(xxf代入，得)1)((xff=32)1(xx正确答案：D4．已知0)1(lim2baxxxx，其中a,b是常数，则（）(A)1,1ba,(B)1,1ba(C)1,1ba(D)1,1ba解.011lim)1(lim22xbxbaxabaxxxxx,1,1,0,01babaa答案：C5．下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。A.e1xx,()；B.sin,()xxx；C.ln(),()11xx；D.xxx110,()解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以0sinlimxxx而A,C,D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（）(A))(1sinxxxy;(B))(1nnyn;(C))0(lnxxy；(D))0(1cos1xxxy解.111sinlim1sinlimxxxxxx,故不选(A).取12km,则0121limlim1knknn,故不选(B).取21nxn,则01cos1limnnnxx,故不选(D).答案：C7．设0,0,1sin)(xxxxxxf，则)(xf在0x处（）A．连续且可导B．连续但不可导C．不连续但可导D．既不连续又不可导解：（B）0lim)(lim00xxfxx，01sinlim)(lim00xxxfxx，0)0(f因此)(xf在0x处连续xxxxxfxffxxx1sinlim001sinlim0)0()(lim)0(000，此极限不存在从而)0(f不存在，故)0(f不存在8．曲线xxy3在点（1，0）处的切线是（）．A．22xyB．22xyC．22xyD．22xy解由导数的定义和它的几何意义可知，13)()1(xxxy2)13(12xx是曲线xxy3在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20xy，即22xy正确答案：A9．已知441xy，则y=（）．A.3xB.23xC.x6D.6解直接利用导数的公式计算：34)41(xxy,233)(xxy正确答案：B10．若xxf)1(，则)(xf（）。A．x1B．21xC．x1D．21x答案：D先求出)(xf，再求其导数。11．22lnyxz的定义域为（）．A．122yxB．022yxC．122yxD．022yx解z的定义域为0),(22yxyx}个，选D。12.下列极限存在的是（）（A）yxxyx00lim（B）yxyx1lim00（C）yxxyx200lim（D）yxxyx1sinlim00解A.当P沿0x时，0),0(lim0yfy，当P沿直线0y时，1)0,(lim0xfx，故00limyxyxx不存在；B.yxyx1lim00，不存在；C.如判断题中1题可知yxxyx200lim不存在；D.因为0lim1sinlim0000xyxxyxyx，所以01sinlim00yxxyx，选D13.若))(()(xxfxf，在),0(,0)(,0)()0,(则在内xfxf内（）.（A）0)(,0)(xfxf（B）0)(,0)(xfxf（C）0)(,0)(xfxf（D）0)(,0)(xfxf解：).(,)(,)(,)(Cxfxfxf故应选为偶函数为奇函数则为偶函数因14．设)(xf为奇函数，且0x时0)(xf，则)(xf在]1,10[上的最大值为（）A．)10(fB．)1(fC．)10(fD．)1(f解：（B）因为)(xf是奇函数，故)()(xfxf，两边求导)()(xfxf，从而)()(xfxf，设0x，则0x，从而0)()(xfxf，所以)(xf在[-10，-1]上单调增加，故最大值为)1(f15．函数22)(4),,(yxyxzyxf()(A)、有极大值8（B）、有极