2.2.2相互独立事件

2.2.2事件的相互独立性创设情境俗话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮。你能用数学的观点来解释为什么吗？想一想？？想一想？？嘿嘿，跟我斗！创设情境俗话说：三个臭皮匠顶一个诸葛亮。你能用数学的观点来解释为什么吗？想一想？？想一想？？已知诸葛亮想出计谋的概率为0.8，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率为0.5,、0.45、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？谈谈你的想法？①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；(A∩B=φ)必有一个发生的两个互斥事件，叫对立事件.(A∩B=且A∪B=Ω)P(A+B)=P(A)+(B)P(A)+P(Ā)=1复习巩固(4).条件概率(5).条件概率计算公式:()()(|)()()nABPABPBAnAPA注意条件：必须P(A)0设事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A).复习巩固盒中有3个球(2白1黑),每次取出一个,有放回地取两次,记事件A为“第一次抽取取到白球”,记事件B为“第二次抽取取到白球”.问事件A是否发生会影响事件B发生的概率吗?想一想？？想一想？？新课引入请你试着用计算来验证。第二次第一次白1白2黑白1(白1，白1)(白1，白2)(白1，黑)白2(白2，白1)(白2，白2)(白2，黑)黑(黑，白1)(黑，白2)(黑，黑)把结果记为（x,y),其中x表示第一次摸出的球，y表示第二次摸出的球，则所有情况如下表：由表可得：62()93PB42(|)63PBA(|)()PBAPB有新课引入(|)()PBAPB有新课引入()(|)()PABPBAPA又由得()=()(|)=()(PABPAPBAPAPB）1、事件的相互独立性设A，B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件.基本概念10.独立事件与互斥事件有什么区别？20.能否把P(B|A)=P(B)当做A、B相互独立的定义？30.如何求两个相互独立事件同时发生的概率？1º独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥AB,21)(,21)(BPAP若).()()(BPAPABP则例如二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系11ABAB由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.基本概念AB21)(,21)(BPAP若.)()()(BPAPABP故由此可见两事件互斥但不独立.,0)(ABP则,41)()(BPAP基本概念20两式子的适用范围不一样，P(B|A)要求P(A)0而P(AB)=P(A)P(B)中P(A)没有限制基本概念10.独立事件与互斥事件有什么区别？20.能否把P(B|A)=P(B)当做A、B相互独立的定义？30.如何求两个相互独立事件同时发生的概率？30相互独立事件同时发生的概率公式“第一、第二次都取到的都是白球”是一个事件，它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作AB这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为：()()()PABPAPB基本概念1.独立事件与互斥事件有什么区别？2.当P(B|A)=P(B)时，能否称A、B相互独立？3.如何求两个相互独立事件同时发生的概率？概率乘法公式基本概念1.必然事件及不可能事件与任何事件A是否独立？,,,,,ABABABAB2.若相互独立则下列各对事件与与与是否也相互独立？想一想？？想一想？？3.相互独立事件同时发生的概率的算法可否推广？（1）必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.证∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1•P(A)=P()P(A)即与A独立.∵A=,P()=0∴P(A)=P()=0=P()P(A)即与A独立.基本概念相互独立事件的性质(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立.①；与BA②；与BA③.BA与证①∵A与B相互独立)()()(ABPAPBAP)()()(BPAPAP)](1)[(BPAP)()(BPAP基本概念相互独立事件的性质(3)若事件A，B与C相互独立,则事件ABC发生的概率为()()()()PABCPAPBPC基本概念相互独立事件的性质1231212()()(A)()nnnPAAAPAAAPAPAA若事件、、、、相互独立，则有判断事件A,B是否为互斥,互独事件?1.篮球比赛“罚球二次”.事件A表示“第1球罚中”,事件B表示“第2球罚中”.2.篮球比赛“1+1罚球”.事件A表示“第1球罚中”,事件B表示“第2球罚中”.A与B为相互独立事件A与B不是相互独立事件概念辨析3.运动员甲射击一次，射中9环与射中8环4.甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；A与B为互斥事件A与B为相互独立事件5.正四面体四个面分别写着1,2,3,4四个数字，抛掷一次，每个面向下的可能性都相等，记事件A表示“向下一面的点数是1或2”；事件B表示“向下一面的点数是1或3”；事件C表示“向下一面的点数是1或4”；判断A、B、C的相互关系。A、B、C间两两相互独立，但三者并不独立概念辨析6.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}对下列两种情形讨论A与B的独立性；（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。判断两事件的相互独立性，常常通过对事物的本质进行分析就可判断；在不易直接判断时，才采取计算概率的方法判断．概念辨析例1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。例题精讲解:(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。（1）“都抽到某一指定号码”；由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A和B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025例题精讲解:“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件与互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：(AB)(AB)ABAB（2）“恰有一次抽到某一指定号码”；P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.05(10.05)(10.05)0.050.095例题精讲（3）“至少有一次抽到某一指定号码”；P(AB)P(AB)P(AB)0.00250.0950.0975解:“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用表示。由于事件与两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为：(AB)(AB)(AB)ABABAB,1P(AB)1(10.05)(10.05)0.0975另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为例题精讲例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰由1人击中目标的概率（3）至少有一人击中目标的概率解：(1)记“甲射击1次,击中目标”为事件A.“乙射击1次,击中目标”为事件B.答：两人都击中目标的概率是0.36且A与B相互独立，又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到P(A•B)=P(A)•P(B)=0.6×0.6＝0.36例题精讲另一种是甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(2)其中恰有1人击中目标的概率？解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中,乙未击中（事件）BA()()()()()()0.6(10.6)(10.6)0.60.240.240.48PABPABPAPBPAPB答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是BA•根据题意，这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与互斥，例题精讲例2甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：（3）至少有一人击中目标的概率.解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是()[()()]0.360.480.84PPABPABPAB解法2：两人都未击中的概率是()()()(10.6)(10.6)0.16,1()10.160.84PABPAPBPPAB因此，至少有一人击中目标的概率答：至少有一人击中的概率是0.84.例题精讲生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品的概率是多少？解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独立，所以抽到合格品的概率为()()()9697582100100625PABPAPB答：抽到合格品的概率是582625巩固练习例3在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.例题精讲由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。027.0)7.01)(7.01)(7.01()](1)][(1)][(1[)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP所以这段事件内线路正常工作的概率是973.0027.01)(1CBAP答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973CBAJJJ、、解：分别记这段时间内开关能够闭合为事件A,B,C.根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是例题精讲已知诸葛亮想出计谋的概率为0.8，三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率为0.5,、0.45、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？谈谈你的想法？例题精讲1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？巩固练习A，B相互独立，A，C不独立，B，C也不独立2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率.P=0.2×0.3＝0.06P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.44巩固练习3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.求:(1)两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率；(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.分析:设事件A为“第1次射击中靶”.B为“第2次射击中靶”.且A与B是相互独立事件.⑴“两次都中靶”是指“事件A发生且事件B发生”即A·BP(A·B）=P（A）·P（B）=0.99x0.99=0.9581（2）“至少有一次中靶”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)即：∴ABABAB()0.990.010.010.990.990.