第26章二次函数26.3实践与探索第2课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系C知识点❶:二次函数与一元二次方程的关系1.(2020·宁夏)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是_.2.二次函数y=-2020x2+bx+c的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程-2020x2+bx+c=0的一个解为x1=5,则另一个解x2为()A.-1B.-2C.-3D.-4k>-1B3.(2020·毕节)已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=2.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且x1<x2,-1<x1<0,则下列说法正确的是()A.x1+x2<0B.4<x2<5C.b2-4ac<0D.ab>0C4.下表是用计算器探索函数y=x2-2x-10所得的数值,则方程x2-2x-10=0的一个近似根为()x-2.1-2.2-2.3-2.4y-1.39-0.76-0.110.56A.x=-2.1B.x=-2.2C.x=-2.3D.x=-2.4知识点❷:二次函数与不等式的关系5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数值y>0时,x的取值范围是()A.x<-1B.x>3C.-1<x<3D.x<-1或x>3D6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是()A.-1<x<5B.x>5C.x<-1D.x<-1或x>5D7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表,则不等式ax2+bx+c>0的解集为()x-3-2-101234y60-4-6-6-406A.x<-2B.x>3C.-2<x<3D.x<-2或x>3D8.(2020·娄底)二次函数y=(x-a)(x-b)-2(a<b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n,且m<n,下列结论正确的是()A.m<a<n<bB.a<m<b<nC.m<a<b<nD.a<m<n<bCC9.已知函数y1=x2与函数y2=-12x+3的图象如图,若y1<y2,则自变量x的取值范围是()A.-1.5<x<2B.x>2或x<-1.5C.-2<x<1.5D.x<-2或x>1.5①④10.(2020·荆门)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A,B,顶点为C,对称轴为直线x=1,给出下列结论:①abc<0;②若点C的坐标为(1,2),则△ABC的面积可以等于2;③M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点(x1<x2),若x1+x2>2,则y1<y2;④若抛物线经过点(3,-1),则方程ax2+bx+c+1=0的两根为-1,3.其中正确结论的序号为。11.阅读材料,回答问题.用图象法解一元二次不等式:x2-2x-3>0.解:设y=x2-2x-3,则y是x的二次函数.∵a=1>0,∴抛物线开口向上,又∵当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,∴y=x2-2x-3的大致图象如图所示.观察函数图象可知:当x<-1或x>3时,y>0.∴x2-2x-3>0的解集是x<-1或x>3.(1)观察图象,直接写出一元二次不等式x2-2x-3<0的解集:__-1<x<3__;(2)依照上例,用图象法解一元二次不等式x2-1>0.解:(2)图象略.x2-1>0的解集是x>1或x<-112.已知抛物线y=x2与直线y=-2x+3如图所示.(1)求交点A,B的坐标;(2)直接写出不等式x2<-2x+3的解集;(3)不解方程,直接写出方程x2+2x-3=0的解.解:(1)A(-3,9),B(1,1)(2)-3<x<1(3)x1=1,x2=-313.(2020·河南)如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.解:(1)∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B,∴点B(0,c),∵OA=OB=c,∴点A(c,0),∴0=-c2+2c+c,∴c=3或0(舍去),∴抛物线表达式为:y=-x2+2x+3,∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点G为(1,4)(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴对称轴为直线x=1,∵点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为6,∴点M坐标为(-2,-5)或(4,-5),点N坐标(6,-21),∵点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,∴-21≤yQ≤4或-21≤yQ≤-514.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),B(3n-4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x=1.关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根.(1)求抛物线的表达式;(2)若n<-5,试比较y1与y2的大小;(3)若B,C两点在直线x=1的两侧,且y1>y2,求n的取值范围解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),∴0=4a+2b+c①,∵对称轴是直线x=1,∴-b2a=1②,∵关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2-4ac=0③,由①②③可得:a=-12,b=1,c=0∴抛物线的表达式为y=-12x2+x(2)∵n<-5,∴3n-4<-19,5n+6<-19,∴点B,点C在对称轴直线x=1的左侧,∵抛物线y=-12x2+x,∴-12<0,即y随x的增大而增大,∵(3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)>0,∴3n-4>5n+6,∴y1>y2(3)若点B在对称轴直线x=1的左侧,点C在对称轴直线x=1的右侧时,由题意可得3n-4<1,5n+6>1,1-(3n-4)<5n+6-1,∴0<n<53;若点C在对称轴直线x=1的左侧,点B在对称轴直线x=1的右侧时,由题意可得:3n-4>1,5n+6<1,3n-4-1<1-(5n+6),∴不等式组无解,综上所述:0<n<53