2021高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第2节 平面向量基本定理及坐标表示课件

第六章平面向量与复数第2节平面向量基本定理及坐标表示课程标准考情索引核心素养1.了解平面向量的基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2018·全国卷Ⅲ，T132016·全国卷Ⅱ，T31.数学运算2.逻辑推理1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法．①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()解析：(1)共线向量不可以作为基底．(2)同一向量在不同基底下的表示不相同．(4)若b＝(0，0)，则x1x2＝y1y2无意义．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)解析：由题意得P1P→＝13P1P2→且P1P2→＝(3，－3)，设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，所以x＝2，y＝2，则点P(2，2)．答案：A3．(人A必修4·习题改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．－12B.12C．－2D．2解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.答案：A[典题体验]4．(2020·一中月考)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：根据题意得AB→＝(3，1)，所以BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．答案：A5．(2020·菏泽模拟)在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE→＝－2DE→，若EF→＝xAB→＋yAD→，则x＋y＝()A．1B．6C.16D.13解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB→＝DC→，AD→＝BC→，因为CE→＝－2DE→，所以ED→＝－13DC→＝－13AB→，所以EF→＝ED→－AD→＋AB→＋BF→＝－13AB→－AD→＋AB→＋12BC→＝23AB→－12AD→，又因为EF→＝xAB→＋yAD→，所以x＝23，y＝－12，所以x＋y＝16.答案：C6．(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________．解析：因为a∥b，所以2λ＋6＝0，解得λ＝－3.答案：－3考点1平面向量基本定理及其应用(自主演练)1．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB→＝a，AC→＝b，则AO→＝()A.12a＋12bB.12a＋13bC.14a＋12bD.12a＋14b解析：因为在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，所以AE→＝12AC→.因为O是BE边的中点，所以AO→＝12(AB→＋AE→)＝12AB→＋14AC→＝12a＋14b.答案：D2．(2020·济南调研)在△ABC中，AN→＝14NC→，若P是直线BN上的一点，且满足AP→＝mAB→＋25AC→，则实数m的值为()A．－4B．－1C．1D．4解析：根据题意设BP→＝nBN→(n∈R)，则AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋nBN→＝AB→＋n(AN→－AB→)＝AB→＋n15AC→－AB→＝(1－n)AB→＋n5AC→，又AP→＝mAB→＋25AC→，由平面向量基本定理得1－n＝m，n5＝25，解得n＝2，m＝－1.答案：B3．(2020·豫南九校联考)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN→＝12NC→，BN与CM相交于点E，设AB→＝a，AC→＝b，则AE→等于()A.25a＋15bB.15a＋25bC.13a＋13bD.25a＋45b解析：由题意得AN→＝13AC→＝13b，AM→＝12AB→＝12a，由N，E，B三点共线可知，存在实数m，满足AE→＝mAN→＋(1－m)·AB→＝13mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线可知，存在实数n，满足AE→＝nAM→＋(1－n)AC→＝12na＋(1－n)b，所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b，因为a，b为基底，所以1－m＝12n，13m＝1－n，解得m＝35，n＝45.所以AE→＝25a＋15b.答案：A1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考点2平面向量的坐标运算(讲练互动)[典例1]设A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，则AB→＋AC→等于()A．－2AD→B．2AD→C．－3AD→D．3AD→解析：由题意得AB→＝(1，2)，AC→＝(－1，4)，AD→＝(0，－2)，所以AB→＋AC→＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.答案：C[典例2]向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝()A．1B．2C．3D．4解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝AO→＝(－1，1)，b＝OB→＝(6，2)，c＝BC→＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝－2－12＝4.答案：D1．巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用．2．向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题．1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN→＝－3a，则点N的坐标为()A．(2，0)B．(－3，6)C．(6，2)D．(－2，0)解析：设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3，6)，所以x＝2，y＝0.答案：A2．(2020·青岛调研)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________．解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.所以m＋n＝－2.答案：－2考点3平面向量坐标运算的应用(多维探究)角度利用向量共线求向量或点的坐标[典例1](一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．解析：法一由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4，4λ)．又AC→＝OC→－OA→＝(－2，6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4，4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2，6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．答案：(3，3)1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以通过平行来求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．角度利用向量共线求参数[典例2](2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．解析：由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.答案：121．如果已知两向量共线，求某些参数的值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．2．在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．角度利用向量坐标表示求最值[典例3]给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的AB︵上运动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．解析：以O为坐标原点，OA→所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B－12，32.设∠AOC＝αα∈0，2π3，则C(cosα，sinα)，由OC→＝xOA→＋yOB→，得cosα＝x－12y，sinα＝32y，所以x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6，又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.答案：21．建立坐标系，把向量用坐标表示．2．再通过坐标运算把问题转化为函数最值或应用基本不等式求最值．1．(角度1)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点P的坐标为______．解析：设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则AP→＝32BP→，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，即x－2＝32（x－4），y－3＝32（y＋3），解得x＝8，y＝－15.所以点P的坐标为(8，－15)．答案：(8，－15)2．(角度2)(2020·洛阳模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a