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-1-第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式首页课标阐释思维脉络1.能够根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题.课前篇自主预习一二三四一、两角和的余弦公式1.由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ以及诱导公式sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,能否将cos(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?提示:cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ2.填空cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.课前篇自主预习一二三四二、两角和与差的正弦公式同理,由sin(α+β)=sin[α-(-β)],可推得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.填空(1)sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(2)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ以及诱导公式sinπ2-𝛼=cosα,cosπ2-𝛼=sinα,能否将sin(α-β)以及sin(α+β)用α,β角的正弦和余弦表示?提示:sin(α-β)=cosπ2-(𝛼-𝛽)=cosπ2-𝛼+𝛽=cosπ2-𝛼cosβ-sinπ2-𝛼sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,课前篇自主预习一二三四3.判断正误(1)sin(α-β)=sinαcosα-cosβsinβ.()(2)sinα+sinβ=sin(α+β).()(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cosβ+cos(α-15°)sinβ.()(4)sin15°+cos15°=sin60°.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√2课前篇自主预习一二三四三、两角和与差的正切公式1.(1)求tan15°的值.提示:(1)∵sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=6-24,cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=6+24,∴tan15°=sin15°cos15°=6-26+2=2-3.课前篇自主预习一二三四(2)根据同角三角函数的商数关系tanθ=sin𝜃cos𝜃,怎样由sin(α+β)以及cos(α+β)的公式将tan(α+β)用tanα,tanβ来表示?如何将tan(α-β)用tanα,tanβ来表示?提示:tan(α+β)=sin(𝛼+𝛽)cos(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽cos𝛼cos𝛽-sin𝛼sin𝛽=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽cos𝛼cos𝛽cos𝛼cos𝛽-sin𝛼sin𝛽cos𝛼cos𝛽=tan𝛼+tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽,tan(α-β)=tan[α+(-β)]=tan𝛼+tan(-𝛽)1-tan𝛼tan(-𝛽)=tan𝛼-tan𝛽1+tan𝛼tan𝛽.课前篇自主预习一二三四2.填空(1)tan(α+β)=tan𝛼+tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽;(2)tan(α-β)=tan𝛼-tan𝛽1+tan𝛼tan𝛽.3.若tanα=12,则tan𝛼+π4=.解析:tan𝛼+π4=tan𝛼+tanπ41-tan𝛼tanπ4=12+11-12×1=3.答案:3课前篇自主预习一二三四四、两角和与差的三角函数公式1.表格.名称公式简记差的余弦cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α-β)和的余弦cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβC(α+β)和的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβS(α+β)差的正弦sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβS(α-β)和的正切tan(α+β)=𝑡𝑎𝑛α+𝑡𝑎𝑛β1-𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛βT(α+β)差的正切tan(α-β)=𝑡𝑎𝑛α-𝑡𝑎𝑛β1+𝑡𝑎𝑛α𝑡𝑎𝑛βT(α-β)课前篇自主预习一二三四2.做一做(1)sin75°=.(2)cos77°cos43°-sin77°sin43°=.解析:(1)sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.(2)cos77°cos43°-sin77°sin43°=cos(77°+43°)=cos120°=-12.答案:(1)6+24(2)-12课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练化简与求值例1化简下列各式:(1)sin47°-sin17°cos30°cos17°;(2)cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°);(3)tan12°+tan33°+tan12°tan33°;(4)(tan10°-3)·cos10°sin50°;(5)(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)原式=sin(30°+17°)-sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°+cos30°sin17°-sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°cos17°=12.(2)原式=cos[(x+27°)-(x-18°)]=cos45°=22.(3)∵tan12°+tan33°1-tan12°tan33°=tan(12°+33°)=tan45°=1,∴tan12°+tan33°=1-tan12°tan33°,∴tan12°+tan33°+tan12°tan33°=1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(4)原式=(tan10°-tan60°)·cos10°sin50°=sin10°cos10°-sin60°cos60°·cos10°sin50°=sin10°cos60°-sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°=-sin(60°-10°)cos10°cos60°·cos10°sin50°=-1cos60°=-2.(5)∵(1+tan21°)(1+tan24°)=1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1+tan(21°+24°)(1-tan21°tan24°)+tan21°tan24°=1+(1-tan21°tan24°)tan45°+tan21°tan24°=1+1-tan21°tan24°+tan21°tan24°=2.同理可得(1+tan22°)(1+tan23°)=2,∴原式=2×2=4.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.公式的巧妙运用①顺用:如本题中的(1);②逆用:如本题中的(2);③变用:变用涉及两个方面,一个是公式本身的变用,如cos(α+β)+sinαsinβ=cosαcosβ,一个是角的变用,也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.这些需要在平时的解题中多总结、多研究、多留心,唯其如此才能在解题中知道如何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切化弦,将特殊值化为tan60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角的函数值,如1=sin90°=cos0°=tan45°,=tan60°等.32.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若A+B=π4,则(1+tanA)(1+tanB)=2;若(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B=kπ+π4,k∈Z.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1化简下列各式:(1)[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]×2sin280°;(2)sin(α+β)cosα-12[sin(2α+β)-sinβ].解:(1)原式=2sin50°+sin10°×cos10°+3sin10°cos10°×2sin80°=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°cos10°×2cos10°=22(sin50°cos10°+sin10°cos50°)=22sin(50°+10°)=22×32=6.(2)原式=sin(α+β)cosα-12[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cosα-12[sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)-sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]=sin(α+β)cosα-12×2sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin(α+β-α)=sinβ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题(1)求sin(α+β)的值;(2)求cos(α-β)的值;(3)求tanα的值.例2已知π4α3π4,0βπ4,cosπ4+𝛼=-35,sin3π4+𝛽=513.分析:(1)由于π4+𝛼+3π4+𝛽=π+(α+β),因此只需求出sinπ4+𝛼+3π4+𝛽的值即可;(2)由于π4+𝛼−3π4+𝛽=-π2+(α-β),因此要求cos(α-β)的值可通过求sinπ4+𝛼-3π4+𝛽的值得到;(3)利用tanα=tanπ4+𝛼-π4求解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)因为π4α3π4,π2π4+απ,所以sinπ4+𝛼=1-cos2π4+𝛼=45.因为0βπ4,3π43π4+βπ,所以cos3π4+𝛽=-1-sin23π4+𝛽=-1213,因此sin(α+β)=-sin(π+α+β)=-sinπ4+𝛼+3π4+𝛽=-sinπ4+𝛼cos3π4+𝛽+cosπ4+𝛼sin3π4+𝛽=-45×-1213+-35×513=6365.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(2)由(1)可知,sinπ4+𝛼=45,cos3π4+𝛽=-1213,所以sinπ4+𝛼-3π4+𝛽=sinπ4+𝛼cos3π4+𝛽-cosπ4+𝛼sin3π4+𝛽=45×-1213−-35×513=-3365.又sinπ4+𝛼-3π4+𝛽=sin(𝛼-𝛽)-π2=-cos(α-β),从而cos(α-β)=3365.(3)由(1)可得tanπ4+𝛼=sinπ4+𝛼cosπ4+𝛼=-43,于是tanα=tanπ4+𝛼-π4=tanπ4+𝛼-tanπ41+tanπ4+𝛼tanπ4=-43-11+-43×1=7.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟给值求值的解题策略在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练2(1)已知α为锐角,sinα=35,β是第四象限角,cosβ=45,则sin(α+β)=.(2)已知tanα+π6=1,则tanα-π6=()A.2-3B.2+3C.-2-3D.-2+3课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:(1)∵α为锐角,sinα=35,∴cosα=45.∵β是第四象限角,cosβ=45,∴sinβ=-35.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=35×45+45×-35=0.(2)∵α+π6-α-π6=π3,∴α-π6=𝛼+π6−π