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18.2.3正方形【基础梳理】一、正方形的定义既是_____,又是_____的四边形.二、正方形的性质1.正方形的四个角都是_____,四条边都_____.矩形菱形直角相等2.正方形的对角线相等,并且互相_________,每条对角线_____一组对角.三、正方形的判定1.有一组邻边_____的矩形是正方形.2.有一个角为_____的菱形是正方形.3.对角线_____的菱形是正方形.4.对角线_________的矩形是正方形.垂直平分平分相等直角相等互相垂直【自我诊断】(1)对角线互相垂直平分的四边形是正方形.()(2)矩形,菱形,正方形都具有的性质是()A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相垂直×B(3)正方形是轴对称图形,它的对称轴共有()A.1条B.2条C.3条D.4条(4)正方形的一条对角线长为4,则这个正方形面积是__.(5)能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_______________(填上一个符合题目要求的条件即可).D8AC=BD且AC⊥BD知识点一正方形的性质【示范题1】已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.(1)求证:AP=BQ.(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.【思路点拨】(1)根据正方形的性质得出AD=BA,∠BAQ=∠ADP,再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA,判定△DAP≌△ABQ并得出结论.(2)根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析.【自主解答】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°,∴∠BAQ+∠DAP=90°.∵DP⊥AQ,∴∠APD=90°,∴∠ADP+∠DAP=90°,∴∠ADP=∠BAQ,∵AQ⊥BE,∴∠AQB=90°,∴∠APD=∠AQB,∴△DAP≌△ABQ,∴AP=BQ.(2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ.【备选例题】如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.【证明】在正方形ABCD中,AO=DO=OC,AC⊥BD,∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°,又∵DE=CF,∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF,∴∠AEO=∠DFO,∴∠OAE+∠DFO=90°,∴∠AMF=90°,∴AM⊥DF.【微点拨】正方形的“边、角、对角线”(1)边:四条边都相等且每组对边平行.(2)角:四个角都是直角.(3)对角线:两条对角线相等且互相垂直平分,把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;每条对角线平分一组对角,把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.知识点二正方形的判定【示范题2】(2017·上海中考)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.【微点拨】判定正方形的一般思路【纠错园】已知在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1(如图所示)把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F,C两点的距离为__________.【错因】本题由于考虑问题不全面,只考虑点F在点B的左侧的情况,漏掉了点F在点B的右侧的情况而出现错误.