常微分方程(王高雄)第三版-2.3

§2.3恰当方程与积分因子一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuudyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu定义1使得若有函数),,(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程)1(,0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程..),()1(cyxu的通解为此时如0ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd)(23xyyxd))()((ydygxdxfd1恰当方程的定义问题1.方程(1)是否为恰当方程?2.若(1)是恰当方程,怎样求解?3.若(1)不是恰当方程,能否转化为恰当方程求解?)1(,0),(),(dyyxNdxyxM定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(RyxNyxM)1(,0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM2方程为恰当方程的充要条件二、恰当方程的求解1不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.2分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.练习：验证方程,0)1()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.三、积分因子3.若(1)不是恰当方程,能否转化为恰当方程求解?)1(,0),(),(dyyxNdxyxM1定义使得如果存在连续可微函数,0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdxxyyyxyx)1(,0),(),(dyyxNdxyxM2积分因子的确定:0),(),(),(充要条件是的积分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN则的积分因子有关存在仅与如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM这时方程,0y)(xNyMyMxN变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即特殊积分因子的求法是的积分因子的必要条件赖于有一个仅依从而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM此时求得积分因子,)()(dxxexdxxd)(()(,)xNxyx()(,)(,)()dxNxyNxyxdxx()(,)()xdxNxyex(,)()Nxyxx(,)(,)()()MxyNxyxyx(,)()Nxyxx(,)()Mxyxy()(,)xMxyy)(,)(,)0xMxydxNxydy故(是方程一个积分因子.3定理微分方程)1(,0),(),(yxNdxyxM是的积分因子的充要条件有一个仅依赖于x,)(NxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,x,)()(dxxexNxNyMx)()(这里充要条件是的积分因子的有一个仅依赖于微分方程同理y)1(,,)(MxNyM的积分因子为这时有关仅与)1(,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy这里例6求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有关的积分因子故方程有一个仅与无关它与xy,)(xdxxex)()(dxe1xe后得对方程两边同乘以xex)(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为.,222为任意常数ccyeeyxx1)()(NxNyMx例7求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改写为:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有积分因子,1),(22yxyx:),(乘改写后的方程两边得以yx,2)(2222dxyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解为:.,22为任常数ccxyx练习：求解方程.0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM这里1),(yyxM,1),(xyxN故方程不是恰当方程,方法1:MxNyM)(因为y2,有关仅与y的积分因子故方程有一个仅依赖于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程两边得以y.02ydyyxdyydx即.0112dyyxdyydxy故方程的通解为:.lncyyx)(y方法2:方程改写为:dxdyyxyxyxy1这是齐次方程,代入方程得令xyuduxudx即,112dxxduuu,1uu故通解为:,lnln1cxuu变量还原得原方程的通解为:.lncyyx方法3:方程改写为:,11xydydx分方程为自变量的一阶线性微为未知函数它是以yx,故方程的通解为:))((~)()(cdyeyQexdyypdyyp)(~11cdyeedyydyy)1(~cdyyy),ln(~cyy即方程的通解为:.lncyyx常见的全微分表达式222yxdydyxdxxydxydxxdy2xyarctgdyxydxxdy22xydxyydxxdyln)ln(212222yxdyxydyxdxyxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子.,,1,1,1,12222222等xyyxyxyxxyx作业P601（3）2（2）（5）（8）（10）4